Eine neue Sichtweise

Eine Rundreise konzipieren

Betrachte den Fall im Applet: Die Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ sind linear abhängig. Es gilt $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Zum Herunterladen: linearunabhaengig1.ggb

Mit den gegebenen Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ lässt sich jetzt eine Rundreise erzeugen:

$2\overrightarrow{u}+1\overrightarrow{v}+(-1)\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$

Aufgabe 1: Rundreisen konzipieren

Die folgenden Vektoren sind jeweils linear abhängig. Zeige, dass man in all diesen Fällen eine Rundreise konzipieren kann. Überprüfe mit dem Applet.

1. $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$: $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-1)\overrightarrow{v}$
2. $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$: $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}+(-2)\overrightarrow{w}$
3. $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$: $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{w}$

Aufgabe 2: Rundreisen konzipieren

(a) Warum klappt es bei diesen Vektoren nicht, eine Rundreise zu konzipieren? Begründe.

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

(b) K. schlägt folgende „Rundreise“ vor. Sollte man die akzeptieren?

$0\overrightarrow{u}+0\overrightarrow{v}+0\overrightarrow{w}$