Eine neue Sichtweise

Eine Rundreise konzipieren

Betrachte den Fall im Applet: Die Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sind linear abhängig. Es gilt $\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}$.

Zum Herunterladen: linearunabhaengig1.ggb

Mit den gegebenen Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ lässt sich jetzt eine Rundreise erzeugen:

$2\vec{u} + 1\vec{v} + (-1)\vec{w} = \vec{0}$

Aufgabe 1: Rundreisen konzipieren

Die folgenden Vektoren sind jeweils linear abhängig. Zeige, dass man in all diesen Fällen eine Rundreise konzipieren kann. Überprüfe mit dem Applet.

1. $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)$: $\vec{w} = \vec{u} + (-1)\vec{v}$
2. $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)$: $\vec{v} = 2\vec{u} + (-2)\vec{w}$
3. $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right)$: $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{w}$

Aufgabe 2: Rundreisen konzipieren

(a) Warum klappt es bei diesen Vektoren nicht, eine Rundreise zu konzipieren? Begründe.

$\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right)$

(b) K. schlägt folgende „Rundreise“ vor. Sollte man die akzeptieren?

$0\vec{u} + 0\vec{v} + 0\vec{w}$