Berechnung des Schnittgebildes

Das Schnittgebilde bestimmen

Die Berechnung des Schnittgebildes zweier Ebenen funktioniert genauso wie die Schnittpunktberechnung bei zwei Geraden oder einer Ebene und einer Gerade. Wir stellen also eine Vektorgleichung auf und wandeln diese in ein LGS um.

Aufgabe 1

(a) Stelle das LGS auf, das zur folgenden Vektorgleichung gehört:

$$\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$$

(b) Kontrolliere dein LGS mit dem Applet unter der Aufgabe. (Gleichungen A, B, C).

Zum Herunterladen: lageebenen2.ggb

Aufgabe 2

Als nächstes muss das LGS gelöst werden.

(a) Erkläre den Aufbau des LGS: Warum sind es drei Gleichungen und vier Variablen?

(b) Löse das LGS, indem du den Befehl „Löse({A, B, C},{r,s,y,z})“ in Zeile 4 eingibst. Die entstandene Rückmeldung ist auf den ersten Blick merkwürdig: $\{\{r=0,s=z,y=z+1,z=z\}\}$. Wie man das interpretiert, wurde bereits bei den Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene behandelt: Ein Parameter (hier $z$) ist frei wählbar; alle anderen kann man dann daraus berechnen. Entsprechend ist das Schnittgebilde eindimensional – eine Gerade.

(c) 🚀 Es handelt sich beim Schnittgebilde um diese Gerade:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) $ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Versuche selbst, diese Geradengleichung aus dem Ergebnis $\{\{r=0,s=z,y=z+1,z=z\}\}$ zu erschließen.

Aufgabe 3

Stelle im Applet unter der Aufgabe auch die Sonderfälle A und B ein und löse das entsprechende LGS mit dem CAS-Tool. Interpretiere die Lösungsmenge.

• Sonderfall A: $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$
• Sonderfall B: $\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$

Zum Herunterladen: lageebenen2.ggb