Experimente mit Schnittgebilden

Schnittgebilde von zwei Ebenen

Wenn sich zwei geometrische Objekte schneiden, gibt es gemeinsame Punkte. Wir nennen sie das „Schnittgebilde“.

Aufgabe 1

(a) Nimm dir zwei Blätter Papier als Modelle für zwei Ebenen. Welche Schnittgebilde sind möglich, wenn du die beiden Blätter im Raum anordnest? Wie würdest du die entsprechenden Lagebeziehungen nennen?

(b) Nutze das Applet unterhalb der Aufgabe, um die von dir gefundenen Lagebeziehungen einzustellen. Du kannst im Applet mit den Schiebereglern die Stütz- und Spannvektoren der beiden Ebenen verändern.

(c) Untersuche auch die folgenden Sonderfälle. Gib jeweils die Koordinaten der Vektoren im Applet ein. Hast du an diese Lagebeziehungen gedacht? Beschreibe das jeweils entstehende „Schnittgebilde“.

Sonderfall A:

• $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $F: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)

Sonderfall B:

• $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $F: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)

Zum Herunterladen: lageebenen1.ggb

Aufgabe 2

Als nächstes möchten wir das Schnittgebilde zweier Ebenen rechnerisch bestimmen. Gib eine Strategie an, wie man im folgenden Fall vorgehen muss, um das Schnittgebilde zu berechnen.

Fall C:

• $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $F: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)