Zusammenfassung – Schnittpunktberechnung
Ein gemeinsamer Punkt
Zielsetzung
Ziel ist es, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen.
Beispiel
$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1.25 \\ 4 \\ 1.5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -0.5 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Wenn die Gerade $g$ die Ebene $E$ in einem Punkt $S$ schneidet, dann liegt $S$ sowohl in der Ebene $E$ wie auch auf der Geraden $g$. Es muss also passende Parameterwerte $r$ und $s$ für die Ebenengleichung und $t$ für die Geradengleichung geben, so dass der gleiche Ortsvektor $\vec{x}$ erzeugt wird.
Im vorliegenden Fall ist das möglich, wenn man $r = 1.5$, $s = 1$ und $t = 3$ wählt.
Probiere es selbst mit dem folgenden Applet aus.
Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb
Ein rechnerisches Verfahren
Das Vorgehen ist ganz analog zum Vorgehen beim Schnittpunkt zweier Geraden:
- Schritt 1: Ggf. Ebenengleichung bzw. Geradengleichung aufstellen.
- Schritt 2: Die Bedingung „Gerade schneidet Ebene “ als Vektorgleichung darstellen.
- Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Lineares Gleichungssystem (LGS) umwandeln.
- Schritt 4: Das LGS lösen.
- Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.
- Schritt 6: Ggf. den Schnittpunkt berechnen.
Beispiel
In welchem Punkt schneiden sich $E$ und $g$ von oben?Zusammenhang zum LGS
Das LGS der Schnittpunktberechnung Ebene-Gerade verfügt über drei Variablen, weil eine Ebene ein zweidimensionales Objekt ist (und entsprechend die Ebenengleichung zwei Parameter besitzt) und die Gerade ein eindimensionales Objekt ist (und entsprechend die Geradengleichung den dritten Parameter liefert).
Ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen hat immer entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen; das entspricht den Lagebeziehungen „Gerade verläuft parallel zur Ebene“, „Gerade schneidet Ebene in einem Punkt“ und „Gerade verläuft ganz in der Ebene“.
