o-mathe | Zusammenfassung » Zusammenfassung

Zusammenfassung – Schnittpunktberechnung

Ein gemeinsamer Punkt

Zielsetzung

Ziel ist es, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen.

Beispiel

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1.25 \\ 4 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 0.5 \\ 1 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

Wenn die Gerade $g$ die Ebene $E$ in einem Punkt $S$ schneidet, dann liegt $S$ sowohl in der Ebene $E$ wie auch auf der Geraden $g$ . Es muss also passende Parameterwerte $r$ und $s$ für die Ebenengleichung und $t$ für die Geradengleichung geben, so dass der gleiche Ortsvektor $\vec{x}$ erzeugt wird.

Im vorliegenden Fall ist das möglich, wenn man $r = 1.5$ , $s = 1$ und $t = 3$ wählt.

Probiere es selbst mit dem folgenden Applet aus.

Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb

Ein rechnerisches Verfahren

Das Vorgehen ist ganz analog zum Vorgehen beim Schnittpunkt zweier Geraden:

Schritt 1: Ggf. Ebenengleichung bzw. Geradengleichung aufstellen.
Schritt 2: Die Bedingung „Gerade schneidet Ebene “ als Vektorgleichung darstellen.
Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Lineares Gleichungssystem (LGS) umwandeln.
Schritt 4: Das LGS lösen.
Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.
Schritt 6: Ggf. den Schnittpunkt berechnen.

Beispiel

In welchem Punkt schneiden sich

E

und

g

von oben?

Lösung einblenden

Schritt 1: Ggf. Ebenengleichung bzw. Geradengleichung aufstellen.

Dieser Schritt muss nicht ausgeführt werden, da bereits eine Ebenengleichung und eine Geradengleichung vorgegeben ist.

Schritt 2: Die Bedingung „Gerade schneidet Ebene“ als Vektorgleichung darstellen.

(\begin{matrix} - 1.25 \\ 4 \\ 1.5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 0.5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{matrix})

Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcl} [1] & - 1.25 & = & - 0.5 r - 0.5 s \\ [2] & 4 - 0.5 t & = & 1 + r \\ [3] & 1.5 + t & = & 4 + 0.5 s \end{array}$

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein solches LGS zu lösen. Wir nutzen hier ein Computeralgebrasystem, um schnell zur Lösung zu gelangen. Wie man beim Lösen eines LGS systematisch vorgehen kann, wird in Kapitel Lineare Gleichungssysteme gezeigt.

Zum Herunterladen: lgs_schnittpunkt1.ggb

Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Da es eine eindeutige Lösung gibt, schneiden sich Gerade und Ebene in einem Punkt.

Schritt 6: Den Schnittpunkt berechnen.

Hierzu setzt man die Parameterwerte $(r = 1.5, s = 0.5, t = 3)$ in die entsprechenden Gleichungen ein. Eine Berechnung reicht dabei eigentlich aus. Oft ist es jedoch gut, zur Kontrolle beide Rechnungen durchzuführen.

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + 1.5 \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1.25 \\ 2.5 \\ 4.5 \end{matrix})$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1.25 \\ 4 \\ 1.5 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 0.5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1.25 \\ 2.5 \\ 4.5 \end{matrix})$

Der Schnittpunkt $S$ hat also die Koordinaten $S (- 1.25 | 2.5 | 4.5)$ .

Zusammenhang zum LGS

Das LGS der Schnittpunktberechnung Ebene-Gerade verfügt über drei Variablen, weil eine Ebene ein zweidimensionales Objekt ist (und entsprechend die Ebenengleichung zwei Parameter besitzt) und die Gerade ein eindimensionales Objekt ist (und entsprechend die Geradengleichung den dritten Parameter liefert).

Ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen hat immer entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen; das entspricht den Lagebeziehungen „Gerade verläuft parallel zur Ebene“, „Gerade schneidet Ebene in einem Punkt“ und „Gerade verläuft ganz in der Ebene“.

Zusammenfassung – Schnittpunktberechnung

Ein gemeinsamer Punkt

Zielsetzung

Beispiel

Ein rechnerisches Verfahren

Beispiel

Zusammenhang zum LGS

Suche

Rückmeldung geben