Lösestrategie

Lageprobleme untersuchen

Gegeben sind ein Punkt $P$, eine Gerade $g$ und zwei Ebenen $E$ und $F$:

$P$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

$g$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0.5\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$E$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0.5\\ 1\end{array}\right)$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

$F$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)+p\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -0.5\\ 1\end{array}\right)+q\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ (mit $p,q\in \mathbb{R}$)

Wir betrachten die folgenden Lageprobleme:

• Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$?
• Liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$?
• Schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$?
• Schneiden sich die beiden Ebenen $E$ und $F$?

Gemeinsame Punkte bestimmen

Die Lageprobleme lassen sich lösen, indem man gemeinsame Punkte der geometrischen Objekte bestimmt. Hierzu werden Vektorgleichungen aufgestellt, die die Menge der gemeinsamen Punkte beschreiben.

$g\cap \{P\}$: $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0.5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Die Schreibweise $g\cap \{P\}$ steht für die Schnittmenge aus der Menge der Punkte der Geraden $g$ und der Menge, die nur aus dem Punkt $P$ besteht.

Aufgabe 1

Ergänze die Vektorgleichung zur Beschreibung der gemeinsamen Punkte von $g$ und $E$.

$g\cap E$: ...

Vektorgleichungen in lineare Gleichungssysteme umwandeln

Vektorgleichungen lassen sich direkt in lineare Gleichungssysteme umwandeln.

Aufgabe 2

Ordne den oben aufgeführten Lageproblemen das jeweils passende Gleichungssystem zu. Du musst die Gleichungssysteme dann nicht lösen.

LGS A:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& -1& +& r& +& 2s& =& 3\\ [2]& 1& -& r& +& 0.5s& =& 2\\ [3]& & & & & s& =& 2\end{array}$

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr}[1]& -1& +& r& +& 2s& =& 2& +& t\\ [2]& 1& -& r& +& 0.5s& =& 3& -& t\\ [3]& & & & & s& =& 1& +& 0.5t\end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcr}[1]& 2& +& t& =& 3\\ [2]& 3& -& t& =& 2\\ [3]& 1& +& 0.5t& =& 2\end{array}$

LGS D:

$\begin{array}{lrcrcrcrcrcr}[1]& -1& +& r& +& 2s& =& 2& +& 3p& +& 4q\\ [2]& 1& -& r& +& 0.5s& =& 2& -& 0.5p& +& q\\ [3]& & & & & s& =& 3& +& p& +& 2q\end{array}$

Den 2D-Fall betrachten

Aufgabe 3

Beschreibe, wie sich der Aufbau der Gleichungssysteme im 2D-Fall vom 3D-Fall unterscheidet.