Lösestrategie

Lageprobleme untersuchen

Gegeben sind ein Punkt $P$, eine Gerade $g$ und zwei Ebenen $E$ und $F$:

$P$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$

$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$E$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0.5 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

$F$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + p \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -0.5 \\ 1 \end{array}\right) + q \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $p, q \in \mathbb{R}$)

Wir betrachten die folgenden Lageprobleme:

• Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$?
• Liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$?
• Schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$?
• Schneiden sich die beiden Ebenen $E$ und $F$?

Gemeinsame Punkte bestimmen

Die Lageprobleme lassen sich lösen, indem man gemeinsame Punkte der geometrischen Objekte bestimmt. Hierzu werden Vektorgleichungen aufgestellt, die die Menge der gemeinsamen Punkte beschreiben.

$g \cap \{P\}$: $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$

Die Schreibweise $g \cap \{P\}$ steht für die Schnittmenge aus der Menge der Punkte der Geraden $g$ und der Menge, die nur aus dem Punkt $P$ besteht.

Aufgabe 1

Ergänze die Vektorgleichung zur Beschreibung der gemeinsamen Punkte von $g$ und $E$.

$g \cap E$: ...

Vektorgleichungen in lineare Gleichungssysteme umwandeln

Vektorgleichungen lassen sich direkt in lineare Gleichungssysteme umwandeln.

Aufgabe 2

Ordne den oben aufgeführten Lageproblemen das jeweils passende Gleichungssystem zu. Du musst die Gleichungssysteme dann nicht lösen.

LGS A:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -1 &+& r &+& 2s & = & 3 \\ [2] &\quad 1 &-& r &+& 0.5s & = & 2\\ [3] &\quad & & & &s & = & 2 \end{array}$

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad -1 &+& r &+& 2s & = & 2 &+& t \\ [2] &\quad 1 &-& r &+& 0.5s & = & 3 &-& t\\ [3] &\quad & & & &s & = & 1 &+& 0.5t \end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 &+& t & = & 3 \\ [2] &\quad 3 &-& t & = & 2\\ [3] &\quad 1 &+& 0.5t & = & 2 \end{array}$

LGS D:

$\begin{array}{lrcrcrcrcrcr} [1] &\quad -1 &+& r &+& 2s & = & 2 &+& 3p &+& 4q \\ [2] &\quad 1 &-& r &+& 0.5s & = & 2 &-& 0.5p &+& q\\ [3] &\quad & & & &s & = & 3 &+& p &+& 2q \end{array}$

Den 2D-Fall betrachten

Aufgabe 3

Beschreibe, wie sich der Aufbau der Gleichungssysteme im 2D-Fall vom 3D-Fall unterscheidet.