Verallgemeinerung
Zwei Vektoren betrachten
Im Kapitel Parallelität von Vektoren wurde bereits folgende Definition für die lineare (Un-) Abhängigkeit von zwei Vektoren erstellt:
Definition
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors ist (bzl. der skalaren Multiplikation).
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Beispiele
(a) Die Vektoren $\vec{u}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ sind linear abhängig, da $\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}$ bzw. $\vec{a} = 0.5 \cdot \vec{b}$.
(b) Die Vektoren $\vec{u}= \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 8 \end{array}\right)$ und $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$ sind linear abhängig, da $\vec{a}= (-4) \cdot \vec{b}$ bzw. $\vec{b} = (-\frac{1}{4}) \cdot \vec{a}$.
(c) Die Vektoren $\vec{u}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$ sind nicht linear abhängig, da keiner der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist.
Bei zwei Vektoren ist die Bedingung „ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen“ äquivalent zur Bedingung „ein Vektor ist eine Linearkombination des anderen“. Wir können also die Definition, die wir für drei Vektoren benutzt haben, auch im Fall zweier Vektoren verwenden.
Definition
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer der beiden Vektoren eine Linearkombination des anderen Vektors ist (bzl. der skalaren Multiplikation).
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Einen Vektor betrachten
Bei einem Vektor macht die Bedingung „ein Vektor ist eine Linearkombination der anderen“ wenig Sinn, da es hier keine anderen Vektoren gibt. In diesem Fall ist es günstig, wenn man auf die äquivalente Rundreise-Bedingung zurückgreift.
Ein Vektor $\vec{u}$ ist linear unabhängig genau dann, wenn die Vektorgleichung $r\vec{u} = \vec{0}$ nur die Lösung $r=0$ hat. Das ist genau dann der Fall, wenn der Vektor $\vec{u}$ kein Nullvektor ist. Demnach ist ein Vektor $\vec{u}$ linear abhängig genau dann, wenn er der Nullvektor ist.
Wenn wir für diesen Sonderfall den Begriff „linear (un-) abhängig“ so festlegen, dann schließt das die Lücke im vorangegangenen Abschnitt, in dem wir eine Bedingung für die Beschreibung linearer Gebilde mit Linearkombinationen aus erzeugenden Vektoren formuliert haben.
Beliebig viele Vektoren betrachten
Im Fall beliebig vieler Vektoren nutzt man in der Regel auch die Rundreise-Bedingung zur präzisen Festlegung des Begriffs „linear (un-)abhängig“. Diese Festlegung umfasst dann Fälle, die wir betrachtet haben – sowohl im 2D-Fall wie auch im 3D-Fall.
Definition
Die Vektoren $\vec{v_1}, ..., \vec{v_n}$ (mit einer natürlichen Zahl $n > 0$) nennt man linear abhängig genau dann, die Vektorgleichung $r_1\vec{v_1} + ... + r_n\vec{v_n} = \vec{0}$ nur die Lösung $r_1=0; ...; r_n=0$ hat.
Die Vektoren $\vec{v_1}, ..., \vec{v_n}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
