Verallgemeinerung

Zwei Vektoren betrachten

Im Kapitel Parallelität von Vektoren wurde bereits folgende Definition für die lineare (Un-) Abhängigkeit von zwei Vektoren erstellt:

Bei zwei Vektoren ist die Bedingung „ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen“ äquivalent zur Bedingung „ein Vektor ist eine Linearkombination des anderen“. Wir können also die Definition, die wir für drei Vektoren benutzt haben, auch im Fall zweier Vektoren verwenden.

Einen Vektor betrachten

Bei einem Vektor macht die Bedingung „ein Vektor ist eine Linearkombination der anderen“ wenig Sinn, da es hier keine anderen Vektoren gibt. In diesem Fall ist es günstig, wenn man auf die äquivalente Rundreise-Bedingung zurückgreift.

Ein Vektor $\overrightarrow{u}$ ist linear unabhängig genau dann, wenn die Vektorgleichung $r\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ nur die Lösung $r=0$ hat. Das ist genau dann der Fall, wenn der Vektor $\overrightarrow{u}$ kein Nullvektor ist. Demnach ist ein Vektor $\overrightarrow{u}$ linear abhängig genau dann, wenn er der Nullvektor ist.

Wenn wir für diesen Sonderfall den Begriff „linear (un-) abhängig“ so festlegen, dann schließt das die Lücke im vorangegangenen Abschnitt, in dem wir eine Bedingung für die Beschreibung linearer Gebilde mit Linearkombinationen aus erzeugenden Vektoren formuliert haben.

Beliebig viele Vektoren betrachten

Im Fall beliebig vieler Vektoren nutzt man in der Regel auch die Rundreise-Bedingung zur präzisen Festlegung des Begriffs „linear (un-)abhängig“. Diese Festlegung umfasst dann Fälle, die wir betrachtet haben – sowohl im 2D-Fall wie auch im 3D-Fall.