Eine Präzisierung
Eine Bedingung für Abhängigkeit formulieren
Drei Vektoren (im 3D-Raum) spannen einen Spat auf, wenn sie nicht voneinander abhängig sind.
Zum Herunterladen: spat1.ggb
Wir präzisieren die hier relevante Form der Abhängigkeit in folgender Definition.
Definition
Drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer der Vektoren sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt. Andernfalls nennt man sie linear unabhängig.
Beispiel 1
Die Vektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 1 \end{array}\right)$ sind linear abhängig, da folgende Abhängigkeitsbeziehung vorliegt:
$\vec{w}=2\vec{u}+\vec{u}$
Beispiel 2
Die Vektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ sind linear unabhängig, da keine Abhängigkeitsbeziehung besteht. Den Nachweis werden wir in einem der folgenden Abschnitte erbringen.
