Dimension und erzeugende Vektoren

Die Bausteine linearer Gebilde untersuchen

Die Darstellung geometrischer Objekte benutzt Vektoren in zwei Funktionen:

• einen Stützvektor, der zum geometrische Objekt führt
• erzeugende Vektoren, die Richtungen des geometrischen Objekts festlegen

Aufgabe 1: Darstellung einer Geraden

Diesen Fall kennst du bereits. Eine Gerade lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem erzeugenden Vektor $\vec{u}$ (dem Richtungsvektor) beschreiben:

$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

Verdeutliche diese Darstellung von Geraden im Applet. Blende hierzu jeweils einen erzeugenden Vektor ein (z.B. $\vec{u}$) und variiere den entsprechenden Parameter (im Fall von $\vec{u}$ ist das der Parameter $r$). Beachte, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Geraden durch $PQ$ (bzw. $PS$ bzw. $PA$) erhält.

Zum Herunterladen: linearegebilde1.ggb

Aufgabe 2: Darstellung einer Ebene

Auch diesen Fall kennst du bereits. Eine Ebene lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und zwei erzeugenden Vektor $\vec{u}$ und $\vec{v}$ (den Spannvektoren) beschreiben:

$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Verdeutliche diese Darstellung von Ebenen im Applet. Blende hierzu zwei erzeugende Vektoren ein (z.B. $\vec{u}$ und $\vec{v}$) und variiere die entsprechenden Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Ebene durch $PQRS$ (bzw. $PQAB$ bzw. $PSDA$) erhält.

Aufgabe 3: Darstellung eines Raumes

Dieser Fall ist neu. Welche Punktmenge lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und drei erzeugenden Vektor $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ beschreiben?

$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$ (mit $r, s, t \in \mathbb{R}$)

Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$) ein und variiere die jeweiligen Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, dass man jeden Punkt des Körpers erhält, der von den drei erzeugenden Vektoren aufgespannt wird.

Begründe, dass man jeden Punkt des 3D-Raumes erhält, wenn für die Parameter beliebige reelle Zahlen zugelassen sind.

Aufgabe 4: Darstellung eines Punktes

Betrachte abschließend noch den Sonderfall, dass nur ein Stützvektor $\vec{p}$ gegeben ist – aber keine erzeugenden Vektoren.

$\vec{x} = \vec{p}$

Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$) aus. Begründe, dass nur ein einzelner Punkt so beschrieben wird.

Aufgabe 5: Dimensionen

In der folgenden Tabelle sind alle Fälle noch einmal eingetragen. Erläutere die Zusammenhänge, die sich hier ergeben.

lineares geometrisches Gebilde	Dimension	Linearkombinationen
Punkt	0	$\vec{x} = \vec{p}$
Gerade	1	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$
Ebene	2	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$
Raum	3	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$