Dimension und erzeugende Vektoren

Die Bausteine linearer Gebilde untersuchen

Die Darstellung geometrischer Objekte benutzt Vektoren in zwei Funktionen:

• einen Stützvektor, der zum geometrische Objekt führt
• erzeugende Vektoren, die Richtungen des geometrischen Objekts festlegen

Aufgabe 1: Darstellung einer Geraden

Diesen Fall kennst du bereits. Eine Gerade lässt sich mit einem Stützvektor $\overrightarrow{p}$ und einem erzeugenden Vektor $\overrightarrow{u}$ (dem Richtungsvektor) beschreiben:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}$ (mit $r\in \mathbb{R}$)

Verdeutliche diese Darstellung von Geraden im Applet. Blende hierzu jeweils einen erzeugenden Vektor ein (z.B. $\overrightarrow{u}$) und variiere den entsprechenden Parameter (im Fall von $\overrightarrow{u}$ ist das der Parameter $r$). Beachte, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Geraden durch $PQ$ (bzw. $PS$ bzw. $PA$) erhält.

Zum Herunterladen: linearegebilde1.ggb

Aufgabe 2: Darstellung einer Ebene

Auch diesen Fall kennst du bereits. Eine Ebene lässt sich mit einem Stützvektor $\overrightarrow{p}$ und zwei erzeugenden Vektor $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ (den Spannvektoren) beschreiben:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$ (mit $r,s\in \mathbb{R}$)

Verdeutliche diese Darstellung von Ebenen im Applet. Blende hierzu zwei erzeugende Vektoren ein (z.B. $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$) und variiere die entsprechenden Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Ebene durch $PQRS$ (bzw. $PQAB$ bzw. $PSDA$) erhält.

Aufgabe 3: Darstellung eines Raumes

Dieser Fall ist neu. Welche Punktmenge lässt sich mit einem Stützvektor $\overrightarrow{p}$ und drei erzeugenden Vektor $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ beschreiben?

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}+t\cdot \overrightarrow{w}$ (mit $r,s,t\in \mathbb{R}$)

Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$) ein und variiere die jeweiligen Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, dass man jeden Punkt des Körpers erhält, der von den drei erzeugenden Vektoren aufgespannt wird.

Begründe, dass man jeden Punkt des 3D-Raumes erhält, wenn für die Parameter beliebige reelle Zahlen zugelassen sind.

Aufgabe 4: Darstellung eines Punktes

Betrachte abschließend noch den Sonderfall, dass nur ein Stützvektor $\overrightarrow{p}$ gegeben ist – aber keine erzeugenden Vektoren.

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}$

Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$) aus. Begründe, dass nur ein einzelner Punkt so beschrieben wird.

Aufgabe 5: Dimensionen

In der folgenden Tabelle sind alle Fälle noch einmal eingetragen. Erläutere die Zusammenhänge, die sich hier ergeben.

lineares geometrisches Gebilde	Dimension	Linearkombinationen
Punkt	0	$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}$
Gerade	1	$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}$
Ebene	2	$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$
Raum	3	$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}+t\cdot \overrightarrow{w}$