Übungen – Ebenengleichung

Aufgabe 1 – Ebenen am Würfel ★★

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet im 3D-Koordinatensystem liegt. Du siehst ihn im Applet unter der Aufgabe.

(a) Welche Ebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen festgelegt? Beschreibe ihre jeweilige Lage durch Angabe von Eckpunkten des Würfels und verdeutliche die Lage in einer Skizze.

• $E_1: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

• $E_2: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

• $E_3: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

• $E_4: \vec{x} = r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

(b) Beschreibe analog die folgenden Ebenen mit Ebenengleichungen.

• $E_5$: Ebene durch $E$, $F$, $G$ und $H$

• $E_6$: Ebene durch $B$, $D$, $H$ und $F$

• $E_7$: Ebene durch $A$, $B$, $C$ und $D$

• $E_8$: Ebene durch $B$, $G$ und $D$

(c) Gib (mindestens 3) verschiedene Ebenengleichungen an, die dieselbe Ebene wie die folgende Ebenengleichung festlegen. Variiere den Stützvektor und die Spannvektoren.

$E_9: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Zum Herunterladen: wuerfel1.ggb

Aufgabe 2 – Punkte erzeugen ★★

Gegeben ist noch einmal ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet im 3D-Koordinatensystem liegt.

Betrachte die folgende Ebenengleichung:

$E_{10}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

(a) Setze für $r$ und $s$ die folgenden Werte ein und beschreibe die Lage im Würfel.

• $r=1$ und $s=0$
• $r=1$ und $s=1$
• $r=0.5$ und $s=0$
• $r=0.5$ und $s=0.5$

(b) Bestimme 5 weitere Punkte, die in der Ebene $E_{10}$ liegen.

(c) Liegt der Punkt $(8|0|-4)$ in der Ebene $E_{10}$? Begründe.

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Aufgabe 3 – Alles ok hier? ★

Gegeben ist wieder ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet im 3D-Koordinatensystem liegt.

Betrachte diese Ebenengleichung:

$E_{11}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Welche Punktmenge wird hier beschrieben? Erläutere die Schwierigkeit, die bei dieser Gleichung auftritt.

Zum Herunterladen: wuerfel1.ggb

Aufgabe 4 – Berechnungen zu einer Drohnenshow ★★★

Das Louvre-Museum in Paris möchte mit einer Drohnenshow auf sich aufmerksam machen. Die Pyramide im Eingangsbereich soll mit Drohnen am Himmel nachgebildet werden. Das Applet zeigt – zumindest in Teilen –, wie das aussehen soll.

Zum Herunterladen: pyramide2.ggb

Deine Aufgabe ist es, die Drohnenpositionen genau festzulegen. Gehe von folgenden Daten zur Drohnenpyramide aus. Die Eckpunkte sollen im 3D-Koordinatensystem folgende Koordinaten haben: $A(5|0|2)$, $B(5|5|2)$, $C(0|5|2)$, $D(0|0|2)$ und $S(2.5|2.5|5)$.

(a) Beschreibe die Seitenflächen der Pyramide mit Hilfe von Ebenengleichungen.

• $E_{ABS}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} ... \\ ... \\ ... \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} ... \\ ... \\ ... \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
• $E_{BCS}: ...$
• $E_{CDS}: ...$
• $E_{DAS}: ...$

(b) Bestimme exemplarisch einige Drohnenpunkte, die in der Ebene $E_{ABS}$ liegen. Benutze wie im Applet eine Unterteilung der Pyramidenkanten in 5 gleiche Teile.

(c) Die Berechnung aller Drohnenpunkte ist viel Arbeit. Ändere die Strategie: Du machst die Denkarbeit, GeoGebra führt die Rechnungen aus. Lies dir die Anleitung unter dem Applet durch und mache dir die Schritte im Applet klar. Ergänze dann analog die weiteren Drohnenpunkte (auf allen Pyramidenflächen).

Zum Herunterladen: pyramide1.ggb

In diesem Applet ist die Pyramide mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$, der Spitze $S$ und den (gestrichelten) Kantenlinien bereits vorgegeben.

Der Programmierer hat auch schon angefangen mit dieser Anleitung:

Vorgehensweise beim Umgang mit dem Applet

Schritt 1: Eingabe der Bestandteile der betrachteten Ebene:

$a = Vektor(O, A)$
$v = 1/5 * Vektor(A, B)$
$w = 1/5 * Vektor(A, S)$

Schritt 2: Eingabe der Ebenengleichung (als Funktion, die den Parameterwerten $r$ und $s$ den entsprechenden Ortsvektor zuordnet):

$E(r,s) = a + r*v + s*w$

Schritt 3: Berechnung der Ebenenpunkte:

$E(1,0)$
$E(2,0)$
... (hier bist du gefragt!)