Strukturierung – Ebenengleichung
Vektorielle Beschreibung einer Ebene
Wir betrachten noch einmal das Gitternetz aus Drohnen(punkten) und die Ebene, in der alle Drohnen liegen. Im Applet unter der folgenden Aufgabe ist ein kleiner Ausschnitt mithilfe eines Parallelogramms dargestellt.
Aufgabe 1 (Einstieg)
(a) Vergewissere dich, dass alle Drohnen wirklich in einer Ebene liegen, indem du im Applet unter der Aufgabe die Ansicht geeignet drehst. Stelle anschließend die Ausgangsansicht wieder her.
(b) Die Ebene, in der alle Drohnen liegen, kann man mit folgender Ebenengleichung beschreiben:
$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
Experimentiere mit den Schiebereglern. Erkläre, warum es für die Drohnenshow sinnvoll ist, dass gerade nur ganzzahlige Werte ($-5, -4, ..., 4, 5$) zugelassen sind.
Zum Herunterladen: ebene2.ggb
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
(a) Stelle im Applet von Aufgabe 1 den Schieberegler $s$ auf $0$ ein und verändere dann den Schieberegler $r$. Erkläre an der Gleichung, warum nun alle erreichten Drohnen auf einer Gerade liegen.
(b) Wiederhole noch einmal den Aufbau einer Geradengleichung in Parameterform (z.B. mit dem Wissensspeicher zum Thema). Vergleiche: Was ist bei der Gleichung hier ähnlich, was unterscheidet sich? Nutze bei deinen Erklärungen die folgenden Fachbegriffe: Man nennt $\vec{q}$ den Stützvektor der Ebene und $\vec{v}$ sowie $\vec{w}$ die Spannvektoren der Ebene.
Warum nutzt man hier nicht mehr $\vec{p}$ und $\vec{u}$?
Bei Geradengleichungen verwendet man in der Regel die Bezeichnung $\vec{p}$ für den Stützvektor und $\vec{u}$ für den Richtungsvektor. Um keine Verwechslungen zwischen Geraden und Ebenen aufkommen zu lassen, verwendet man bei Ebenen oft andere Bezeichnungen (hier $\vec{q}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$).
(c) Zeige durch Einstellen der Schieberegler, dass man mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ alle dargestellten Gitterpunkte erreichen kann. Dokumentiere die Ergebnisse für die Eckpunkte des grünen Parallelogramms.
(d) Erkläre, wie man mithilfe der Ebenengleichung beliebige Punkte der Ebene erhält. Erkläre u.a., welche Rolle die Vektoren $\vec{q}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ und $\vec{x}$ sowie die Parameter $r$ und $s$ dabei spielen.
Aufgabe 3 (Sicherung)
Fülle den oberen Abschnitt des folgenden Wissensspeichers aus.
Aufgabe 4 (Vertiefung)
Es ist wichtig, eine gegebene Ebenengleichung interpretieren zu können – also herauszufinden, welche Ebene damit beschrieben wird und welche Punkte man bestimmen kann. Außerdem solltest du in der Lage sein, für eine gegebene Ebene eine Ebenengleichung zu finden. Übe beides mit der zweiten Box des Wissensspeichers.
Variation der Ebenengleichung
Bei Geraden hatten wir festgestellt: Zu einer Gerade gehören unendlich viele Geradengleichungen, weil wir sowohl den Stützvektor als auch den Richtungsvektoren (mit bestimmten Vorgaben) verändern können.
🎯 Wie können wir eine Ebenengleichung verändern und weiterhin dieselbe Ebene beschreiben?
Aufgabe 5 (Einstieg)
Entwickle eine Vermutung, inwieweit sich die Bestandteile einer Ebenengleichung verändern lassen.
Aufgabe 6 (Erarbeitung)
🎯 Wir betrachten eine neue Ebenengleichung. Passt sie zur selben Ebene?
$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
(a) Untersuche an der Gleichung und am Applet unter der Aufgabe, was sich im Vergleich zu Aufgabe 1 verändert hat. Beschreibe mithilfe der neuen Fachbegriffe.
(b) Zeige durch Einstellen der Schieberegler, dass man auch hier mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ alle dargestellten Gitterpunkte erreichen kann. Dokumentiere die Ergebnisse für die Eckpunkte des grünen Parallelogramms.
(c) Fasse zusammen: Welche Variation der Ebenengleichung wurde hier vorgenommen? Was muss dabei beachtet werden?
Zum Herunterladen: ebene3.ggb
Aufgabe 7 (Erarbeitung)
🎯 Wir betrachten eine neue Ebenengleichung. Passt sie zur selben Ebene?
$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
(a) Untersuche an der Gleichung und am Applet unter der Aufgabe, was sich im Vergleich zu Aufgabe 1 verändert hat. Beschreibe mithilfe der neuen Fachbegriffe.
(b) Zeige durch Einstellen der Schieberegler, dass man auch hier mit geeigneten Werten für $r$ und $s$ alle dargestellten Gitterpunkte erreichen kann. Dokumentiere die Ergebnisse für die Eckpunkte des grünen Parallelogramms. Beachte, dass die Schieberegler in diesem Applet auch halbzahlige Werte wie z.B. $2.5$ aus dem Bereich $-5, -4, ..., 4, 5$ zulassen.
(c) Fasse zusammen: Welche Variation der Ebenengleichung wurde hier vorgenommen? Was muss dabei beachtet werden?
Zum Herunterladen: ebene4.ggb
Aufgabe 8 (Vertiefung)
🎯 Wir betrachten eine weitere Veränderung der Spannvektoren. Passt die neue Gleichung noch zur selben Ebene?
Welche Schwierigkeit ergibt sich im Applet unter der Aufgabe? Was muss bei der Wahl der Spannvektoren beachtet werden? Nutze Fachbegriffe.
Zum Herunterladen: ebene5.ggb
Aufgabe 9 (Sicherung)
Fülle nun auch die letzte Box des Wissensspeichers aus.
