Rechnerische Überprüfung

Lineare (Un-) Abhängigkeit rechnerisch prüfen

Betrachte den Fall, dass folgende Vektoren gegeben sind:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0.5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Zum Herunterladen: linearunabhaengig2.ggb

Um zu überprüfen, ob die drei Vektoren linear (un)abhängig sind, gehen man systematisch vor.

Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen

$r\cdot \left(\begin{array}{c}0.5\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 0.5r& -& s& & & =& 0\\ [2]& 2r& +& 2s& +& 2t& =& 0\\ [3]& & & -s& +& 2t& =& 0\end{array}$

Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen

Durch geschicktes Umformen kann man direkt erschließen, dass das lineare Gleichungssystem die Lösung $r=0;s=0;t=0$ hat.

Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten

Die vorgegebenen Vektoren sind infolgedessen linear unabhängig.