Erkundung – Funktionsuntersuchungen

Einen Prozess aus der Betriebswirtschaftlehre betrachten

Zur Verdeutlichung der Zielsetzung dieses Kapitels betrachten wir einen Prozess aus der Betriebwirtschaftslehre.

Mit dem Produktlebenszyklus beschreibt man den Prozess von der Markteinführung eines Produktes bis hin zu seiner Entfernung vom Markt (vgl. Wikipedia – Produktlebenszyklus).

Der rote Graph beschreibt den Umsatz eines Unternehmens, das ein neues Produkt auf den Markt bringt. Der Umsatz entspricht den gesamten Einnahmen, die das Unternehmen für das verkaufte Produkt erzielt.

Der grüne Graph beschreibt den Gewinn des Unternehmens. Wenn ein Unternehmen ein Produkt vertreibt, entstehen dabei Kosten (u.a. für Personal, Material und die Produktion). Um den Gewinn zu bestimmen, werden die Kosten vom Umsatz abgezogen.

Aufgabe 1: Einstieg

In der Grafik erkennt man, dass der gesamte Produktlebenszyklus in verschiedene Phasen eingeteilt ist. Deute die Graphen und beschreibe in eigenen Worten die Charakteristika der verschiedenen Phasen.

Aufgabe 2: Erarbeitung

In der folgenden Tabelle sind Fragen gesammelt, die ein Unternehmen bei konkret vorgegebenen Graphen klären möchte.

(a) Kläre die Fragen in der Tabelle anhand der oben vorgegebenen Graphen. Du kannst keine konkreten Werte bestimmen, sondern sollst beschreiben, wo man die entsprechenden Stellen im Graph findet.

Frage / Problem	Eigenschaft der entsprechenden Funktion
In welchem Bereich erzielt man tatsächlich einen (positiven) Gewinn?
In welchem Bereich steigt der Umsatz, in welchen Bereich nimmt er wieder ab?
Wie hoch ist das Umsatzmaximum?
Wann erreicht man den maximalen Gewinn?
Wann ist die Gewinnsteigerung maximal?

(b) Die Tabelle behandelt Fragen aus dem konkreten Kontext. In der Mathematik werden solche kontextbezogenen Fragen oft in mathematische Formulierungen „übersetzt“. Ordne den Fragen in der Tabelle die passenden mathematischen Eigenschaften aus der folgenden Auflistung zu.

• An welcher Stelle hat der grüne Graph einen Hochpunkt?
• In welchem Intervall ist die Funktion zum roten Graph streng monoton steigend, in welchem streng monoton fallend?
• Welche Nullstellen hat die Funktion zum grünen Graph?
• An welcher Stelle hat der grüne Graph die maximale Steigung?
• Welche $y$-Koordinate hat der Hochpunkt des roten Graphen?