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Zusammenfassung – Kriterien für Wendepunkte und Krümmung

Wendepunkte einer Funktion

Die Krümmung eines Funktionsgraphen ist direkt mit dem Steigen und Fallen der zugehörigen Ableitungsfunktion verknüpft.

Wendepunkte sind die Punkte eines Funktionsgraphen, in denen sich das Krümmungsverhalten von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt oder umgekehrt verändert. Es besteht demnach folgender Zusammenhang.

Satz über Wendepunkte

Im Wendepunkt von Graph $f$ liegt eine lokal maximale oder lokal minimale Steigung vor. Ein Wendepunkt von Graph $f$ entspricht somit einem Hoch- oder Tiefpunkt von Graph $f^{'}$ .

Diese Zusammenhang ermöglicht es, Kriterien für Extrempunkte auf entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu übertragen.

Notwendige Bedingung für Wendepunkte

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f^{'}$ und $f^{″}$ in einem Bereich um einen Wendepunkt verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$ , um Graph $f^{'}$ und Graph $f^{″}$ zu erzeugen.

Situation 1	Situation 2	Situation 3	Situation 4

Mit der notwendigen Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte erhält man jetzt den folgenden Zusammenhang:

Eigenschaft von $f$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{'}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{″}$
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.	$\Rightarrow$	$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen Extrempunkt.	$\Rightarrow$	$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Wir formulieren ihn als Satz

Notwendige Bedingung für Wendepunkte

Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat, dann hat $f^{″}$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte

Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f^{'}$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f^{″}$ (durchgezogen) dargestellt.

Zum Herunterladen: wendepunktevorzeichenwechselkriterium.ggb

Mit dem Vorzeichenwechselkriterium für Hoch- und Tiefpunkte erhält man jetzt den folgenden Zusammenhang:

Eigenschaft von $f^{″}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{'}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel	$\Rightarrow$	$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt

Man erhält somit das folgende Vorzeichenwechselkriterium für Wendepunkte.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (Vorzeichenwechselkriterium):

Wenn $f^{″}$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Hinreichende Bedingung für Krümmungsverhalten

Mit dem Monotoniesatz erhält man diese Folgerungsketten:

Eigenschaft von $f^{″}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{'}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ ist positiv im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{'}$ ist streng monoton steigend im Intervall $I$	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$
$f^{″}$ ist negativ im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{'}$ ist streng monoton fallend im Intervall $I$	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$

Hieraus ergeben sich eine hinreichende Bedingungen für das Krümmungsverhalten einer Funktion.

Hinreichende Bedingung für das Krümmungsverhalten

Wenn $f^{″} (x) > 0$ für alle $x \in I$ , dann ist Graph $f$ im Intervall $I$ linksgekrümmt.

Wenn $f^{″} (x) < 0$ für alle $x \in I$ , dann ist Graph $f$ im Intervall $I$ rechtsgekrümmt.

Zusammenfassung – Kriterien für Wendepunkte und Krümmung

Wendepunkte einer Funktion

Satz über Wendepunkte

Notwendige Bedingung für Wendepunkte

Notwendige Bedingung für Wendepunkte

Eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte

Hinreichende Bedingung für Krümmungsverhalten

Hinreichende Bedingung für das Krümmungsverhalten

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