Vertiefung - Hinreichende Bedingungen für das Krümmungsverhalten
Zur Orientierung
Zielsetzung
Der Fokus liegt hier auf dem Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen. Ziel ist es, auch für das Krümmungsverhalten hinreichende Bedingungen zu entwickeln.
Krümmung untersuchen
Nutze das Applet, um Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion $f$ und den Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$ herzustellen. Der Fokus liegt hier auf den Krümmungseigenschaften von Graph $f$.
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Im mittleren Fenster ist die zugehörige 1. Ableitungsfunktion $f'$ und im unteren Fenster die zugehörige 2. Ableitungsfunktion $f''$ zu sehen.
- Auf dem Graph der Ausgangsfunktion sind die 3 Wendepunkte hervorgehoben.
- Mit dem Schieberegler ganz oben kann man ein Intervall einstellen. Im betrachteten Intervall sind die Graphen mit durchgezogenen Linien dargestellt, außerhalb des Intervalls mit gestrichelten Linien.
Zum Herunterladen: kruemmung_hinreichende_bedingung.ggb
Aufgabe 1
Wir betrachten die Krümmungseigenschaften von Graph $f$. Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe (streng monoton steigend, streng monoton fallend, linksgekrümmt, rechtsgekrümmt).
Eigenschaft von $f''$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
$f''$ ist positiv im Intervall $I$ |
$\Rightarrow$ |
$f'$ ist ... im Intervall $I$ |
$\Rightarrow$ |
Graph $f$ ist ... im Intervall $I$ |
$f''$ ist negativ im Intervall $I$ |
$\Rightarrow$ |
$f'$ ist ... im Intervall $I$ |
$\Rightarrow$ |
Graph $f$ ist ... im Intervall $I$ |
Aufgabe 2
Formuliere eine hinreichende Bedingung für das Krümmungsverhalten einer Funktion.
Hinreichende Bedingung für das Krümmungsverhalten
Wenn $f''(x) > 0$ für alle $x\in I$, dann ist Graph $f$ ...
Wenn $f''(x) \text{ < } 0$ für alle $x\in I$, dann ist Graph $f$ ...