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Erarbeitung - Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte

Zur Orientierung

Zielsetzung

Wie kann man mit Hilfe der Ableitung Extremstellen finden? Ziel der folgenden Abschnitte ist es, die hierfür benötigten Zusammemhänge zu erarbeiten.

Einen Zusammenhang präzisieren

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen.

Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4
$f$ hat ... ... ... ...
$f'$ hat ... ... ... ...

Aufgabe 1

Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.

  • $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
  • $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
  • $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
  • $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aufgabe 2

Welche der beiden Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.

Aussage 1: Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aussage 2: Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Einen Zusammenhang präzise formulieren

Den Zusammenhang zwischen Extrempunkten von Graph $f$ und Nullstellen von Graph $f'$ muss man präzise formuliere. Wir verwenden hierzu ein in der Mathematik gängiges Formulierungsmuster – die Wenn-Dann-Aussage.

Aufgabe 3

(a) Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil $\Rightarrow$ dargestellt. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...").

Eigenschaft von $f$ hieraus folgt Eigenschaft von $f'$
(notwendige Bedingung)
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. $\Rightarrow$ $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. $\Rightarrow$ $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. $\Rightarrow$ $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$.

(b) Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet. Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle $x$ erfüllt ist, so nennt man $x$ eine kritische Stelle. Erkläre, was man damit meint.

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Fülle die erste Box des Wissensspeichers aus.

Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte

Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ ...

Beachte

Die Umkehrung Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt. ist falsch.

Kritische Stellen sind ...

Nicht alle kritische Stellen führen zu Extrempunkten. An solchen Stellen können auch ...

Kritische Punkte oder kritische Stellen?

Beachte, dass wir die notwendige Bedingung für Extrempunkte anschaulich und ausgehend von Beispielen erschlossen haben. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweise.

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