Erarbeitung – Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte
Zur Orientierung
Zielsetzung
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung Extremstellen finden? Ziel der folgenden Seiten ist es, die hierfür benötigten Zusammenhänge zu erarbeiten.
Fachbegriffe
Wir setzen ein intuitives Verständnis der Begriffe „Hochpunkt“ und „Tiefpunkt“ voraus. Im Unterkapitel Eigenschaften von Funktionen wurden diese Begriffe in der Erkundung inhaltlich eingeführt und in der Strukturierung auch exakt definiert.
Einen Zusammenhang präzisieren
Die Tabelle unter der Aufgabe zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen.
Der blaue Punkt in Graphen von $f$ lässt sich verschieben, um den Graphen von $f'$ zu erzeugen.
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
- $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
|---|---|---|---|
| $f$ hat ... | ... | ... | ... |
| $f'$ hat ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 2
Welche der beiden Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.
Aussage 1: Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Aussage 2: Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Einen Zusammenhang präzise formulieren
Den Zusammenhang zwischen Extrempunkten von Graph $f$ und Nullstellen von Graph $f'$ muss man präzise formuliere. Wir verwenden hierzu ein in der Mathematik gängiges Formulierungsmuster – die Wenn-Dann-Aussage.
Aufgabe 3
(a) Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil $\Rightarrow$ dargestellt. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: „Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...“).
| Eigenschaft von $f$ | hieraus folgt | Eigenschaft von $f'$ (notwendige Bedingung) |
|---|---|---|
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
(b) Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet. Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle $x$ erfüllt ist, so nennt man $x$ eine kritische Stelle. Erkläre, was man damit meint.
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Aufgabe 4
Fülle die erste Box des Wissensspeichers aus.
Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ ...
Beachte
Die Umkehrung Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.
ist falsch.
Kritische Stellen sind ...
Nicht alle kritische Stellen führen zu Extrempunkten. An solchen Stellen können auch ...
Anschauliches Vorgehen
Beachte, dass wir die notwendige Bedingung für Extrempunkte anschaulich und ausgehend von Beispielen erschlossen haben. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweise.
