Erarbeitung – Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte
Zur Orientierung
Zielsetzung
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung Extremstellen finden? Ziel der folgenden Seiten ist es, die hierfür benötigten Zusammenhänge zu erarbeiten.
Fachbegriffe
Wir setzen ein intuitives Verständnis der Begriffe „Hochpunkt“ und „Tiefpunkt“ voraus. Im Unterkapitel Eigenschaften von Funktionen wurden diese Begriffe in der Erkundung inhaltlich eingeführt und in der Strukturierung auch exakt definiert.
Einen Zusammenhang präzisieren
Die Tabelle unter der Aufgabe zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion
Der blaue Punkt in Graphen von
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.
hat an der Stelle einen Hochpunkt. hat an der Stelle einen Tiefpunkt. hat an der Stelle einen Sattelpunkt. hat an der Stelle eine Nullstelle.
Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
---|---|---|---|
| ... | ... | ... |
| ... | ... | ... |
Achtung
Die Tabelle ist recht breit. Im Tablet muss man ggf. das Menu an der rechten Seite ausblenden, um alle Applets ausführen zu können. Nutze hierfür den Doppelpfeil-Button im grünen o-mathe-Balken oben.
Aufgabe 2
Welche der beiden Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.
Aussage 1: Wenn
Aussage 2: Wenn
Einen Zusammenhang präzise formulieren
Den Zusammenhang zwischen Extrempunkten von Graph
Aufgabe 3
(a) Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil
Eigenschaft von | hieraus folgt | Eigenschaft von (notwendige Bedingung) |
---|---|---|
| | |
| | |
| | |
(b) Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet. Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle
Ergebnisse sichern
Aufgabe 4
Fülle die erste Box des Wissensspeichers aus.
Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Wenn
Beachte
Die Umkehrung Wenn
ist falsch.
Kritische Stellen sind ...
Nicht alle kritische Stellen führen zu Extrempunkten. An solchen Stellen können auch ...
Anschauliches Vorgehen
Beachte, dass wir die notwendige Bedingung für Extrempunkte anschaulich und ausgehend von Beispielen erschlossen haben. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweise.