Einstieg

Wissen reaktivieren

Die bisher betrachteten hinreichenden Kriterien für Extrempunkte basieren auf Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$. Mit dem Applet unter Aufgabe 1 kann du dir die verschiedenen Situationen und Argumentationen nochmal klarmachen.

Aufgabe 1

In dieser Aufgabe reaktivierst du dein Wissen über bereits erarbeite Zusammenhänge zwischen Eingenschaften von Graph $f$ und Graph $f^{\prime }$. Benutze die Ausgangseinstellungen des Applets. Die kannst du bei Bedarf mit dem Refreh-Button in der oberen rechten Ecke des Applets wiederherstellen.

Ergänze in der Tabelle die Einträge. Begründe auch kurz. Zur Kontrolle kannst du den Schieberegler $u_0=0.2$ einstellen und so Graph $f$ in einer kleinen Umgebung von $x$ anzeigen.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen4.ggb

Eine neue Ausgangssituation betrachten

Um einen Vorzeichenwechsel zu ermitteln, muss man neben der in Frage kommenden Stelle $x$ auch Ableitungswerte in einer Umgebung von $x$ berechnen. Vielleicht geht das auch noch besser? Interessant wäre, wenn man nur Information über Ableitungswerte an der Stelle $x$ für die Entscheidungen heranziehen müsste. Das Applet unter Aufgabe 2 zeigt daher immer nur $f^{\prime }(x)$ ohne die Umgebung darum.

Aufgabe 2

Verdeutliche anhand des Applets, dass man nur mit dem Wissen, dass $f^{\prime }(x)=0$ gilt, nicht entscheiden kann, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen5.ggb

Das Ziel klären

Wir verändern die Ausgangssituation noch einmal. Vielleicht hilft es, wenn man Information über die 2. Ableitung an der Stelle $x$ für die Entscheidungen zusätzlich heranzieht. Das folgende Applet zeigt daher für jede Stelle $x$ immer die Werte von $f(x)$, $f^{\prime }(x)$ und $f^{″}(x)$. Auf der nächsten Seite betrachten wir es genauer.

Dabei wollen wir folgende Frage klären:

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen6.ggb