Erarbeitung

Lokale Ableitungswerte verwenden

Wir bearbeiten hier diese Frage:

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet unten voreingestelle Situation: Für die betrachtete Stelle $x$ gilt $f^{\prime }(x)=0$ und $f^{″}(x)\text{ < }0$. Ziel dieser Aufgabe ist es, hieraus Schlüsse zu ziehen.

(a) Mache dir zunächst Folgendes klar: Wir setzen voraus, dass der Graph der 2. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle $x$ keine Sprungstellen aufweist. Dann verläuft Graph $f^{″}$ in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$ unterhalb der $x$-Achse. Stelle zur Verdeutlichung den Schieberegler $u_2=0.2$ ein.

(b) Begründe mit dem Wissen aus (a), dass $f^{\prime }$ folglich in einer kleinen Umgebung von $x$ streng monoton fallend ist und dass $f^{\prime }$ somit an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_1=0.2$ einstellst.

(c) Begründe mit dem Wissen aus (b), dass $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_0=0.2$ einstellst.

Anleitung für das Applet

• Ziel ist es, Vorhersagen über den Graph von $f$ (im oberen Koordinatensystem) in der Umgebung des Punktes $P$ zu treffen. Überprüfen kann man die Vorhersagen, indem man die Umgebung um den Punkt $P$ mit dem Schieberegler $u_0$ sichtbar macht. Für $u_0=0$ wird nur die Stelle $x$ angezeigt, für $u_0=4$ erhält man den kompletten Graph im Fenster. Wozu das gut ist, wird in den Aufgaben geklärt. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder den Ausgangswert $u_0=0$ ein.
• Die Position des Punktes $P$ auf dem unsichtbaren Graph $f$ kann man mit dem Schieberegler $x$ ganz oben einstellen. Probiere das einmal aus. Der Punkt $P$ springt dann an neue Positionen – aber nur innerhalb des gesetzten Rahmens für das Koordinatensystem. Beachte, dass man $P$ nur in voreingestellten Abständen bewegen kann. Das dient dazu, dass man die Punkte von Interesse möglichst schnell einstellen kann.
• Zum Punkt $P$ im oberen Koordinatensystem wird auch ein zugehöriger (blau dargestellter) Punkt $Q$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ sowie ein zugehöriger (grün dargestellter) Punkt $R$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f^{″}$ erzeugt. Während $P$ den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ veranschaulicht, verdeutlicht $Q$ die Ableitung $f^{\prime }(x)$ und $R$ die 2. Ableitung $f^{″}(x)$ an der Stelle $x$.
• Mit den Schiebereglern $u_1$ und $u_2$ kann man analog den Graph der Funktion $f^{\prime }$ bzw. $f^{″}$ in der Umgebung der jeweiligen Punkte sichtbar machen. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder die Ausgangswerte $u_1=0$ und $u_2=0$ ein.
• Die Schaltflächen auf der rechten Seite dienen dazu, eine vorgegebene Ausgangsfunktion auszuwählen. Bleibe vorerst bei der Funktion in Beispiel 1.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen6.ggb

Aufgabe 2

(a) Betrachtete jetzt eine Stelle $x$ mit $f^{\prime }(x)=0$ und $f^{″}(x)\text{ > }0$. Bewege dafür den orangen Schieberegler nach rechts. Gehe dann analog zu Aufgabe 1 vor und untersuche, ob man mit Hilfe dieser Information vorhersagen kann, ob Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Überprüfe deine Vermutung auch an anderen Beispielen und Stellen.

(b) Betrachtete verschiedene Stellen $x$ mit $f^{\prime }(x)=0$ und $f^{″}(x)=0$. Betrachte hierzu insbesondere die Stelle $x=0$ in Beispiel 5 und Beispiel 6. Kann man mit Hilfe dieser Information vorhersagen, ob Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat?

Ergebnisse sichern

Die gefundenen Zusammenhänge werden jetzt festgehalten.

Aufgabe 3

(a) Ergänze passende Einträge in der Tabelle.

Eigenschaft von $f^{\prime }$ und $f^{″}$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
$f^{\prime }(x)=0$ und $f^{″}(x)\text{ < }0$	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...
$f^{\prime }(x)=0$ und $f^{″}(x)>0$	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...

(b) Formuliere die Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen.

Aufgabe 4

Fülle die Box „Hinreichende Bedingungen mit höheren Ableitungen“ im Wissensspeicher zu Extrempunkten aus.