Vorzeichenwechselkriterium
Aufgabe 1
Das Applet zeigt die Graphen der beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
Zum Herunterladen: wendepunkte1.ggb
Ermittle mit den Eigenschaften dieser beiden Ableitungsfunktionen die Eigenschaften der Ausgangsfunktion $f$. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle. Die beiden beweglichen Punkte kannst du auf der $x$-Achse verschieben, um dir zu markieren, welchen Intervall du aktuell betrachtest. Überprüfe abschließend deine Ergebnisse, indem du den Graph von $f$ einblendest.
(a) Monotonie und Hoch-/Tiefpunkte
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } -\sqrt{3}$ | $f'(x) \text{ < } 0$ | $-$ | $f$ streng monoton fallend |
| $x = -\sqrt{3} \approx -1.73$ | $f'(-\sqrt{3}) = 0$ | VZW von $-$ zu $+$ | |
| $- \sqrt{3} \text{ < } x \text{ < } ...$ | $f'(x) > 0$ | $+$ | |
| $x = ...$ | |||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ | |||
| $x = ...$ | |||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ |
(b) Krümmungseigenschaften und Wendepunkte
| Stelle / Intervall | $f''(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } -1$ | $f''(x) > 0$ | ||
| $x = -1$ | $f''(-1) = 0$ | ||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ | |||
| $x = ...$ | |||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ |
Aufgabe 2
Das Applet zeigt die Graphen der beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
Zum Herunterladen: wendepunkte2.ggb
Ermittle mit den Eigenschaften dieser beiden Ableitungsfunktionen die Eigenschaften der Ausgangsfunktion $f$. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle. Die beiden beweglichen Punkte kannst du auf der $x$-Achse verschieben, um dir zu markieren, welchen Intervall du aktuell betrachtest. Überprüfe abschließend deine Ergebnisse, indem du den Graph von $f$ einblendest.
(a) Monotonie und Hoch-/Tiefpunkte
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 0$ | $f'(x) \text{ < } 0$ | ||
| $x = 0$ | $f'(0) = 0$ | ||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ |
(b) Krümmungseigenschaften und Wendepunkte
| Stelle / Intervall | $f''(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 2$ | $f''(x) > 0$ | ||
| $x = 2$ | $f''(2) = 0$ | ||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ | |||
| $x = ...$ | |||
| $... \text{ < } x \text{ < } ...$ |
Aufgabe 3
Gegeben ist $f''$ mit
- Version A: $f''(x) = 6x$
- Version B: $f''(x) = 6(x+1) \cdot (x-1)$
Ziel ist es jeweils, die Wendepunkte von Graph $f$ zu bestimmen.
(a) Bestimme die Nullstellen von $f''$ – die kann man hier direkt ablesen – und ermittle mit passenden Kriterien die Krümmungseigenschaften von $f$ sowie die genauen Koordinaten der Wendepunkte von $f$. Stelle die Überlegungen in einer Übersicht dar.
Zur Ausführung von Berechnungen kannst du den folgenden Funktionswerteberechner nutzen.
Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb
(b) Zur Kontrolle soll Graph $f$ mit einem Plotter gezeichnet werden. Bestimme einen Funktionsterm für $f(x) = ...$, so dass $f''(x) = 6x$ (für Version A) bzw. $f'(x) = 6(x+1) \cdot (x-1) = 6x^2 - 6$ (für Version B) gilt. Du musst hierzu die Funktion $f''$ zweimal „aufleiten“. Gib dann die Funktion $f$ mit einem passenden Bereich in den Plotter ein.
Zum Herunterladen: plotter2.ggb
