o-mathe | Übungen – Bestimmung von Wendepunkten

Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1

Das Applet zeigt die Graphen der beiden Ableitungsfunktionen $f^{'}$ und $f^{″}$ .

Ermittle mit den Eigenschaften dieser beiden Ableitungsfunktionen die Eigenschaften der Ausgangsfunktion $f$ . Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle. Die beiden beweglichen Punkte kannst du auf der $x$ -Achse verschieben, um dir zu markieren, welchen Intervall du aktuell betrachtest. Überprüfe abschließend deine Ergebnisse, indem du den Graph von $f$ einblendest.

(a) Monotonie und Hoch-/Tiefpunkte

Stelle / Intervall	$f^{'} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < - \sqrt{3}$	$f^{'} (x) < 0$	$-$	$f$ streng monoton fallend
$x = - \sqrt{3} \approx - 1.73$	$f^{'} (- \sqrt{3}) = 0$	VZW von $-$ zu $+$
$- \sqrt{3} < x < . . .$	$f^{'} (x) > 0$	$+$
$x = . . .$
$. . . < x < . . .$
$x = . . .$
$. . . < x < . . .$

(b) Krümmungseigenschaften und Wendepunkte

Stelle / Intervall	$f^{″} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < - 1$	$f^{″} (x) > 0$
$x = - 1$	$f^{″} (- 1) = 0$
$. . . < x < . . .$
$x = . . .$
$. . . < x < . . .$

Aufgabe 2

Das Applet zeigt die Graphen der beiden Ableitungsfunktionen $f^{'}$ und $f^{″}$ .

Zum Herunterladen: wendepunkte2.ggb

(a) Monotonie und Hoch-/Tiefpunkte

Stelle / Intervall	$f^{'} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < 0$	$f^{'} (x) < 0$
$x = 0$	$f^{'} (0) = 0$
$. . . < x < . . .$

(b) Krümmungseigenschaften und Wendepunkte

Stelle / Intervall	$f^{″} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < 2$	$f^{″} (x) > 0$
$x = 2$	$f^{″} (2) = 0$
$. . . < x < . . .$
$x = . . .$
$. . . < x < . . .$

Aufgabe 3

Gegeben ist $f^{″}$ mit

Version A: $f^{″} (x) = 6 x$
Version B: $f^{″} (x) = 6 (x + 1) \cdot (x - 1)$

Ziel ist es jeweils, die Wendepunkte von Graph $f$ zu bestimmen.

(a) Bestimme die Nullstellen von $f^{″}$ – die kann man hier direkt ablesen – und ermittle mit passenden Kriterien die Krümmungseigenschaften von $f$ sowie die genauen Koordinaten der Wendepunkte von $f$ . Stelle die Überlegungen in einer Übersicht dar.

Zur Ausführung von Berechnungen kannst du den folgenden Funktionswerteberechner nutzen.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

(b) Zur Kontrolle soll Graph $f$ mit einem Plotter gezeichnet werden. Bestimme einen Funktionsterm für $f (x) = . . .$ , so dass $f^{″} (x) = 6 x$ (für Version A) bzw. $f^{'} (x) = 6 (x + 1) \cdot (x - 1) = 6 x^{2} - 6$ (für Version B) gilt. Du musst hierzu die Funktion $f^{″}$ zweimal „aufleiten“. Gib dann die Funktion $f$ mit einem passenden Bereich in den Plotter ein.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1

Aufgabe 2

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