o-mathe | Weitere Kriterien für Extrem- und Wendepunkte » Zusammenfassung – eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit höheren Ableitungen

Zusammenfassung – eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit höheren Ableitungen

Höhere Ableitungen berücksichtigen

Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte erhält man, wenn man entsprechende Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte überträgt.

Eigenschaft von $f^{″}$ und $f^{‴}$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{'}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″} (x) = 0$ und $f^{‴} (x) \neq 0$	$\Rightarrow$	$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt

Mit dem Applet kannst du dir die Zusammenhänge nochmal klarmachen. Wir nutzen hier, dass wir $f^{″}$ in einem kleinen Intervall um $x$ fast linear ist.

Anleitung für das Applet

Mit dem Applet kann man erkunden, wie der Graph der Ausgangsfunktion $f$ an einer Stelle $x$ von Eigenschaften der Ableitungen an dieser Stelle abhängt.
Hier wird vorausgesetzt, dass $f^{″} (x) = 0$ gilt. Der grüne Punkt auf der $x$ -Achse ist also gesetzt.
Mit dem roten Schieregler kann man $f^{‴} (x)$ variieren. Von besonderem Interesse sind die Fälle $f^{‴} (x) < 0$ und $f^{‴} (x) > 0$ . Wenn $f^{‴} (x) < 0$ gilt, dann ist $f^{″}$ in einer kleinen Umgebung von $x$ streng monoton fallend. Der grün dargestellte Graph wird hier vereinfachend als linear dargestellt. Entsprechend ist $f^{″}$ in einer kleinen Umgebung von $x$ streng monoton steigend, wenn $f^{‴} (x) < 0$ gilt. Wir setzen hier jeweils voraus, dass Graph $f^{‴}$ keine Sprungstellen aufweist.
An der Stelle $x$ entsteht somit für $f^{″} (x) = 0$ und $f^{‴} (x) \neq 0$ bei $f^{'}$ ein Extrempunkt und bei $f$ ein Wendepunkt.
Mit dem blauen Schieberegler kann man die Position des Extrempunktes von $f^{'}$ verändern. Das beeinflusst dann die genaue Ausformung des Wendepunkts.
Mit dem schwarzen Schieberegler kann man schließlich die Position des Wendepunktes nach oben und unten verschieben.

Zum Herunterladen: wendepunktehoehereableitungen.ggb

Aus diesen (informellen) Überlegungen erhält man folgenden Zusammenhang.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (mit höheren Ableitungen)

Wenn $f^{″} (x) = 0$ und $f^{‴} (x) \neq 0$ , dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Wenn $f^{″} (x) = 0$ und $f^{‴} (x) \neq 0$ und wenn zusätzlich $f^{'} (x) = 0$ gilt, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Bestimmung von Wendepunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

Beispiel

geg.: $f (x) = \frac{1}{324} x^{4} - \frac{1}{27} x^{3} + \frac{1}{2} x + 2$

ges.: Wendepunkte von $f$

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{″}$ , denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f^{″} (x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:

$f^{'} (x) = \frac{1}{81} x^{3} - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{2}$

$f^{″} (x) = \frac{1}{27} x^{2} - \frac{2}{9} x$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f^{″}$ muss die Bedingung $f^{″} (x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f^{″} (x) = x \cdot (\frac{1}{27} x - \frac{2}{9})$

Aus dieser Produktdarstellung von $f^{″} (x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{1}{27} x - \frac{2}{9} = 0$
$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 6$

Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x = 0$ und $x = 6$ . Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.

Schritt 2: Die dritte Ableitung zur Entscheidung nutzen

Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f^{‴}$ bestimmt. Es gilt:

$f^{‴} (x) = \frac{2}{27} x - \frac{2}{9}$

Wir nutzen jetzt die 3. Ableitung $f^{‴}$ , um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f^{″}$ Wendepunkte vorliegen.

Stelle	$f^{″} (x)$	$f^{‴} (x)$	Eigenschaft von $f$
$x = 0$	$f^{″} (0) = 0$	$f^{‴} (0) = - 2 / 9 \neq 0$	Wendepunkt
$x = 6$	$f^{″} (6) = 0$	$f^{‴} (6) = 2 / 9 \neq 0$	Wendepunkt

Schritt 3: $y$ -Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$ -Koordinaten dieser Punkte.

Zur Bestimmung der $y$ -Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f (0) = 2$ : Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(0 | 2)$ .

$f (6) = 1$ : Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(6 | 1)$ .

Schritt 4: Die Steigung im Wendepunkt bestimmen

Um zu entscheiden, ob die Wendepunkte Sattelpunkte sind, berechnen wir die Steigungen in den Wendepunkten.

Wendepunkt $(0 | 2)$ : Es gilt $f^{'} (0) = 1 / 2$ . Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.

Wendepunkt $(6 | 1)$ : Es gilt $f^{'} (6) \approx - 0.83$ . Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.