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Übungen – Kriterien mit höheren Ableitungen

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$ , $f^{'}$ und $f^{″}$ . Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte von $f$ .

Stelle	$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f^{″} (x)$
$x = 0$	$0$	$0$	$12$
$x = 2$	$5.33$	$0$	$- 4$
$x = 3$	$4.5$	$0$	$6$

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$ , $f^{'}$ und $f^{″}$ . Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte von $f$ . Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Klärung auf?

Stelle	$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f^{″} (x)$
$x = - 3$	$4.32$	$0$	$0$
$x = 0$	$0$	$0$	$0$
$x = 2$	$0.97$	$0$	$- 4$
$x = 3$	$- 0.68$	$0$	$19.44$

Gib zur Kontrolle den Funktionsterm $f (x) = \frac{1}{400} x^{8} + \frac{1}{350} x^{7} - \frac{1}{20} x^{6} - \frac{9}{250} x^{5} + \frac{27}{100} x^{4}$ mit einem Bereich von $- 3.5$ bis $3.5$ in den Plotter ein. Gleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen ab. Diskutiere anhand dieses Beispiels die Nachteile des Kriteriums mit höheren Ableitungen.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

Aufgabe 3

Die Tabelle zeigt Information (gerundete Werte) über die Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{150} x^{5} - \frac{8}{45} x^{3}$ .

(a) Bestimme mit dieser Information folgende besondere Punkte von Graph $f$ :

Schnittpunkte mit der $x$ -Achse und der $y$ -Achse
Hoch- und Tiefpunkte
Wendepunkte / Sattelpunkte

Beachte, dass die Tabelle auch Information enthält, die für die Bestimmung der besonderen Punkte nicht benötigt wird. Gib jeweils genau an, wie du (mit einem passenden Kriterium) argumentierst.

$x$	$- 5.16$	$- 4$	$- 2.83$	$0$	$2.83$	$4$	$5.16$
$f (x)$	$0$	$4.55$	$2.82$	$0$	$- 2.82$	$- 4.55$	$0$
$f^{'} (x)$	$9.48$	$0$	$- 2.13$	$0$	$- 2.13$	$0$	$9.48$
$f^{″} (x)$	$- 12.85$	$- 4.27$	$0$	$0$	$0$	$4.27$	$12.85$
$f^{‴} (x)$	$9.6$	$5.33$	$2.13$	$- 1.07$	$2.13$	$5.33$	$9.6$

(b) Skizziere mit den Ergebnissen aus (a) den Graph von $f$ .

Kontrolliere mit dem Funktionenplotter. Gib hierzu den Funktionsterm $f (x) = \frac{1}{150} x^{5} - \frac{8}{45} x^{3}$ mit einem passenden Bereich (siehe Tabelle oben) in den Plotter ein.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

Aufgabe 4

Die folgende Grafik zeigt Information über eine Funktion $f$ und ihre Ableitungen.

Deute jeweils den Verlauf von Graph f in einer Umgebung des eingezeichneten Punktes an.

Tipp: Beginne jeweils beim unteren Graphen. Im ersten Beispiel kann man ablesen, dass hier $f^{″} (x) > 0$ gilt. Der Graph von $f^{'}$ muss also in einem kleinen Bereich um $x$ steigen. Da $f^{'} (x) = 0$ auch vorgegeben ist, muss an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $- / +$ -Vorzeichenwechsel vorliegen. Mit diesem Wissen kann man zunächst den Graph von $f^{'}$ in einem Bereich um $x$ andeuten. Weiter kann man schließen, dass $f$ an der betreffenden Stelle $x$ einen Tiefpunkt haben muss. Den kann man jetzt im obersten Koordinatensystem (mit einen kleinen Bogen) andeuten.

Aufgabe 5

Bestimme jeweils die Wendepunkte von $f$ . Zur Kontrolle kannst du den Funktionenplotter oben benutzen.

(a) $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

(b) $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$

(c) $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$