Überprüfung – Kriterien mit höheren Ableitungen
Aufgabe 1
Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$, $f'$ und $f''$. Die Funktion $f'$ habe keine weiteren Nullstellen. Gesucht sind Eigenschaften von $f$. Begründe jeweils.
| Stelle | $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Eigenschaften von $f$ |
|---|---|---|---|---|
| $x = -2$ | $-1$ | $0$ | $12$ | |
| $x = 0$ | $3$ | $0$ | $0$ | |
| $x = 1$ | $5.75$ | $9$ | $21$ |
Gib zur Kontrolle den Funktionsterm $f(x) = \frac{3}{4}x^4 + 2x^3 + 3$ mit einem Bereich von $-2.5$ bis $1.5$ in den Plotter ein. Gleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen ab.
Zum Herunterladen: plotter2.ggb
Aufgabe 2
Die Tabelle zeigt Information (z.T. gerundete Werte) über eine Funktion $f$.
(a) Bestimme mit dieser Information folgende besondere Punkte von Graph $f$:
- Schnittpunkte mit der $x$-Achse
- Hoch- und Tiefpunkte
- Wendepunkte / Sattelpunkte
Beachte, dass die Tabelle auch Information enthält, die für die Bestimmung der besonderen Punkte nicht benötigt wird. Gib jeweils genau an, wie du (mit einem passenden Kriterium) argumentierst.
| $x$ | $0$ | $4/3$ | $2$ | $8/3$ |
| $f(x)$ | $0$ | $-1.19$ | $-2$ | $0$ |
| $f'(x)$ | $0$ | $-1.78$ | $0$ | $7.11$ |
| $f''(x)$ | $0$ | $0$ | $6$ | $16$ |
| $f'''(x)$ | $-6$ | $6$ | $12$ | $18$ |
(b) Skizziere mit den Ergebnissen aus (a) den Graph von $f$.
Kontrolle
