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Zusammenfassung – eine hinreichende Bedingung für Extrempunkte mit höheren Ableitungen

Die 2. Ableitung berücksichtigen

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ entsteht, wenn die 1. Ableitung $f^{'}$ und die 2. Ableitung $f^{″}$ an einer Stelle $x$ bekannt sind. Beachte, dass als Information nur die Lage des blauen Punktes auf Graph $f^{'}$ und des grünen Punktes auf Graph $f^{″}$ vorgegeben ist.

Anleitung für das Applet

Mit den grün dargestellten Schiebereglern kann man variieren, wie Graph $f^{″}$ durch den grünen Punkt auf Graph $f^{″}$ verläuft und dabei beobachten, welche Auswirkungen das auf Graph $f$ an der betrachteten Stelle $x$ hat.
Mit den schwarz dargestellten Schiebereglern kann man Graph $f$ nach oben und unten verschieben. Diese Verschiebungen haben keinen Einfluss auf die Argumentationen.

Situation 1: $f^{'} (x) = 0$ und $f^{″} (x) < 0$	Situation 2: $f^{'} (x) = 0$ und $f^{″} (x) > 0$	Situation 3: $f^{'} (x) = 0$ und $f^{″} (x) = 0$

Wir setzen voraus, dass der Graph der 2. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle $x$ keine Sprungstellen aufweist. Dann gilt: - $f^{″} < 0$ in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$ . - $f^{'}$ ist streng monoton fallend in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$ . - $f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen $+ / -$ -Vorzeichenwechsel. - $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.	Wir setzen voraus, dass der Graph der 2. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle $x$ keine Sprungstellen aufweist. Dann gilt: - $f^{″} > 0$ in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$ . - $f^{'}$ ist streng monoton steigend in einer kleinen Umgebung von der Stelle $x$ . - $f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen $- / +$ -Vorzeichenwechsel. - $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.	Es ist keine allgemeine Aussage über einen Vorzeichenwechsel an der Stelle $x$ möglich. Es ist somit offen, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

Aus diesen (informellen) Überlegungen erhält man folgenden Zusammenhang.

Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (mit höheren Ableitungen)

Wenn $f^{'} (x) = 0$ und $f^{″} (x) < 0$ , dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.

Wenn $f^{'} (x) = 0$ und $f^{″} (x) > 0$ , dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.

Beachte: Wenn $f^{'} (x) = 0$ und $f^{″} (x) = 0$ , dann kann man ohne weitere Information nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen

Wir betrachten wieder das folgende Beispiel.

Beispiel

geg.: $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

ges.: Hoch- und Tiefpunkte von $f$

Schritt 1: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f^{'}$ bestimmen

Bestimmung von $f^{'} (x)$ :

$f^{'} (x) = x^{2} - 1$

Bestimmung der Nullstellen von $f^{'} (x)$ :

$f^{'} (x) = 0$
$x^{2} - 1 = 0$
$x^{2} = 1$
$x = - 1$ oder $x = 1$

Mögliche Extremstellen von $f$ :

$x = - 1$ und $x = 1$

Schritt 2: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f^{″}$ überprüfen

Bestimmung von $f^{″} (x)$ :

$f^{″} (x) = 2 x$

Bestimmung von $f^{″} (x)$ für die möglichen Extremstellen:

Stelle	$f^{'} (x)$	$f^{″} (x)$	Eigenschaft von $f$
$x = - 1$	$f^{'} (- 1) = 0$	$f^{″} (- 1) = - 2 < 0$	Hochpunkt
$x = 1$	$f^{'} (1) = 0$	$f^{″} (1) = 2 > 0$	Tiefpunkt

Schritt 3: Die y-Koordinaten der ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bestimmen

$x = - 1$ : $f (- 1) = - \frac{1}{3} - (- 1) = \frac{2}{3}$

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $(- 1 | \frac{2}{3})$ .

$x = 1$ : $f (1) = \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(1 | - \frac{2}{3})$ .

Zusammenfassung – eine hinreichende Bedingung für Extrempunkte mit höheren Ableitungen

Die 2. Ableitung berücksichtigen

Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (mit höheren Ableitungen)

Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen

Beispiel

Schritt 1: Die möglichen Extremstellen von f mit Hilfe von f′ bestimmen

Schritt 2: Die möglichen Extremstellen von f mit Hilfe von f″ überprüfen

Schritt 3: Die y-Koordinaten der ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bestimmen

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Schritt 1: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f^{'}$ bestimmen

Schritt 2: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f^{″}$ überprüfen