Anwendung

Bestimmung von Wendepunkten mit höheren Ableitungen

Wir nutzen die hinreichenden Bedingungen mit höheren Ableitungen, um die Wendepunkte einer Funktion zu bestimmen. Hierzu betrachten wir die Beispiele aus dem Applet aus dem vorherigen Abschnitt.

Aufgabe 1

Bestimme (ggf. arbeitsteilig) die Wendepunkte von $f$ mit Hilfe höherer Ableitungen. Gehe dabei folgendermaßen vor.

• Schritt 1: Bestimme zunächst mit Hilfe der 2. Ableitung die möglichen Wendestellen von $f$.
• Schritt 2: Entscheide mit Hilfe der 3. Ableitung, ob die möglichen Wendestellen tatsächlich zu Wendepunkten gehören. Beachte, dass eventuell keine Entscheidung mit der 3. Ableitung möglich ist. Entscheide zusätzlich mit der 1. Ableitung, ob ein Wendepunkte ein Sattelpunkt ist.
• Schritt 4: Bestimme für die ermittelten Wendepunkte die y-Koordinaten.

(a) Beispiel 1: $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x-1$

(b) Beispiel 2: $f(x)=\frac{1}{12}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2-1$

(c) Beispiel 3: $f(x)=\frac{3}{224}{x}^5-\frac{5}{28}{x}^3-1$

Nutze das Applet aus dem vorangehenden Abschnitt um die Ergebnisse zu überprüfen.

Kontrolle

Zum Herunterladen: wendepunkte_hoehere_ableitungen2.ggb

Aufgabe 2

Dokumentiere für eines der Beispiele alle Überlegungen zur Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte.