Erarbeitung – Hinreichende Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte

Zur Orientierung

Kritische Stellen erkunden

Im letzte Abschnitt hast du gesehen, dass man mit der Information $f^{\prime }(x)=0$ noch nicht erschließen kann, dass an der Stelle $x$ ein Hoch- oder Tiefpunkt auf Graph $f$ vorliegt. Das lässt sich gut anhand des folgenden Applets verdeutlichen.

Aufgabe 1

Bewege $x$ mit dem Schieberegler hin und her und kläre folgende Fragen: Wie viele kritische Stellen hat die betrachtete Funktion? Warum kann man nicht sagen, wie viele Extrempunkte die Funktion hat.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung1.ggb

Zusatzinformation an kritischen Stellen berücksichtigen

Im folgenden Applet wird Graph $f^{\prime }$ jeweils in einer kleine Umgebung um die betrachtete Stelle $x$ angezeigt.

Aufgabe 2

Begründe, dass in der im Applet voreingestellten Situation Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt haben muss. Benutze dabei folgende Argumente: Wenn Graph $f^{\prime }$ im positiven (bzw. negativen) Bereich verläuft, dann ....

Überzeuge dich davon, indem du mit dem Schieberegler $u_0$ eine kleine Umgebung von Punkt $P$ aufdeckst.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung2.ggb

Aufgabe 3

Untersuche entsprechend weitere mit dem Schieberegler einstellbare Stellen $x$ und kläre dabei folgende Fragen: Wie kann man mit Hilfe einer kleinen Umgebung erkennen, ob an einer kritischen Stelle ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Ergänze in der Tabelle passende Bedingungen an $f^{\prime }$, so dass die jeweiligen Folgerungsaussagen korrekt sind.

Eigenschaft von $f^{\prime }$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Hinweise zur Formulierung der Bedingungen

• $f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f^{\prime }(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.)
• $f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f^{\prime }(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.)
• $f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. (d.h. $f^{\prime }(x)$ wechselt an der Stelle $x$ nicht das Vorzeichen.)

Aufgabe 4

Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: „Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...“). Erläutere, warum man die Wenn-Teilaussage als hinreichende Bedingung zur Dann-Teilaussage bezeichnet.

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