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Anwendung – Eigenschaften eines Funktionsgraphen

Eigenschaften eines Funktionsgraphen bestimmen

Wir nutzen die erarbeiten Kriterien, um Eigenschaften des Graphen einer gegebenen Ausgangsfunktion zu bestimmen. Diese Eigenschaften nutzen wir um den Graph der Ausgangsfunktion zu skizzieren.

Unser Ziel

geg.: Ausgangsfunktion $f (x) = \frac{1}{20} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + 0.5$

ges.: markante Punkte (Hoch-, Tief- und Sattelpunkte) und Monotonieeigenschaften von Graph $f$

Aufgabe 1

Erkläre, warum man zunächst die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{'}$ bestimmen sollte.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In einem ersten Schritt werden jetzt die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{'}$ bestimmt.

Aufgabe 2

Bestimme $f^{'} (x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

Kontrolle

$f^{'} (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{2}$

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen von $f^{'} (x)$ .

Kontrolle

$f^{'} (x) = x^{2} \cdot (\frac{1}{4} x^{2} - 1)$
$f^{'} (x) = 0$ genau dann, wenn $x^{2} = 0$ oder $x^{2} = 4$
$f^{'} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = - 2$ oder $x = 2$

Schritt 2: Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion untersuchen

Jetzt geht es darum herauszufinden, welche Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ in den Intervallen bzw. Nullstellen vorliegen.

Aufgabe 4

(a) In der Tabelle unter der Aufgabe sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst die Einträge in der 1. Spalte. Warum wird genau diese Unterteilung hier betrachtet?

(b) Als Testwert im Intervall $- \infty < x < - 2$ wird der $x$ -Wert $x = - 4$ betrachtet. Wenn man $f^{'} (- 4)$ ausrechnet, erhält man als Ergebnis die Zahl $48$ . Prüfe das nach. Warum kann man jetzt aus diesem Ergebnis erschließen, dass $f$ im gesamten Intervall $- \infty < x < - 2$ streng monoton steigend ist?

(c) Erkläre, wie man zu dem Ergebnis kommt, dass $f$ an der Stelle $x = - 2$ einen Hochpunkt haben muss.

Stelle / Intervall	$f^{'} (x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < - 2$	$f^{'} (- 4) = 48$ $f^{'} (x) > 0$		streng monoton steigend
$x = - 2$	$f^{'} (- 2) = 0$	$+ / -$ VZW	Hochpunkt
$- 2 < x < 0$	$f^{'} (- 1) = - 3 / 4$ $f^{'} (x) < 0$		streng monoton fallend
$x = 0$
$0 < x < 2$
$x = 2$
$2 < x < \infty$

Aufgabe 5

Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle. Nutze geeignete Testwerte in den Intervallen, um das jeweilige Vorzeichen von $f^{'}$ in diesen Intervallen herauszufinden.

Schritt 3: $y$ -Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$ -Koordinaten der Punkte.

Aufgabe 6

Bestimme die $y$ -Koordinaten des Hoch-, Tief- und Sattelpunktes. Setze hierzu den jeweiligen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

Schritt 4: Graph $f$ skizzieren

Du hast jetzt sehr viel Information über Eigenschaften der Funktion $f$ gesammelt.

Aufgabe 7

(a) Nutze die gewonnene Information über $f$ , um Graph $f$ auf Papier zu skizzieren.

(b) Kontrolliere deine Skizze, indem du passende Daten im Applet eingibst. Beachte, dass du auch für xMin und xMax geeignete Zahlen wählst.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb