Erarbeitung
Die 3. Ableitung berücksichtigen
Wir bearbeiten hier diese Frage:
Leitfrage
Kann man mit Hilfe geeigneter Information über Ableitungswerte an einer Stelle
Zum Herunterladen: wendepunkte_hoehere_ableitungen2.ggb
Aufgabe 1
Betrachte die im Applet unter der Aufgabe voreingestelle Situation: Für die betrachtete Stelle
(a) Mache dir zunächst Folgendes klar: Wir setzen voraus, dass der Graph der 3. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle
(b) Begründe mit dem Wissen aus (a), dass
(c) Begründe mit dem Wissen aus (b), dass
(d) Begründe mit dem Wissen aus (c), dass
Anleitung für das Applet
- Das Applet zeigt vier untereinander platzierte Koordinatensysteme – für die Ausgangsfunktion
(ganz oben) und darunter für die Ableitungsfunktionen , und . - Die Position des Punktes
auf dem unsichtbaren Graph kann man mit dem Schieberegler ganz oben einstellen. - Zum Punkt
im oberen Koordinatensystem wird ein zugehöriger (blau dargestellter) Punkt im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion , ein zugehöriger (grün dargestellter) Punkt im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion erzeugt sowie ein zugehöriger (rot dargestellter) Punkt im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion erzeugt. Während den Funktionswert an der Stelle veranschaulicht, verdeutlicht die Ableitung , die 2. Ableitung und die 3. Ableitung an der Stelle . - Mit den Schiebereglern
, , und kann man den Graph der jeweiligen Funktionen in der Umgebung ddes eingestellten -Werts sichtbar machen. - Die Schaltflächen auf der rechten Seite dienen dazu, eine vorgegebene Ausgangsfunktion auszuwählen. Voreingestellt ist die Funktion zum Beispiel 1.
Aufgabe 2
(a) Betrachtete jetzt eine Stelle
(b) Betrachtete (in Beispiel 3) eine Stelle
(c) Betrachtete verschiedene Stellen
Ergebnisse sichern
Die gefundenen Zusammenhänge werden jetzt festgehalten.
Aufgabe 3
(a) Ergänze passende Einträge in der Tabelle.
Eigenschaft von (hinreichende Bedingung) | hieraus folgt | Eigenschaft von |
---|---|---|
| | |
| | |
(b) Formuliere die Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (mit höheren Ableitungen)
Wenn
Wenn
Beachte:
Wenn
Aufgabe 5
Trage die gefundene Bedingung für Wendepunkte im Wissensspeicher ein.