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Erarbeitung

Die 3. Ableitung berücksichtigen

Wir bearbeiten hier diese Frage:

Leitfrage

Kann man mit Hilfe geeigneter Information über Ableitungswerte an einer Stelle x erschließen, ob eine Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt hat?

Zum Herunterladen: wendepunkte_hoehere_ableitungen2.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet unter der Aufgabe voreingestelle Situation: Für die betrachtete Stelle x gilt f(x)=0 und f(x) < 0. Ziel dieser Aufgabe ist es, hieraus Schlüsse zu ziehen.

(a) Mache dir zunächst Folgendes klar: Wir setzen voraus, dass der Graph der 3. Ableitungsfunktionen in einer kleinen Umgebung der Stelle x keine Sprungstellen aufweist. Dann verläuft Graph f in einer kleinen Umgebung von der Stelle x unterhalb der x-Achse. Stelle zur Verdeutlichung den Schieberegler u3=0.2 ein.

(b) Begründe mit dem Wissen aus (a), dass f dann an der Stelle x einen +/-Vorzeichenwechsel haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler u2=0.2 einstellst.

(c) Begründe mit dem Wissen aus (b), dass f an der Stelle x einen Hochpunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler u1=0.3 einstellst.

(d) Begründe mit dem Wissen aus (c), dass f an der Stelle x einen Wendepunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler u0=0.4 einstellst.

Anleitung für das Applet
  • Das Applet zeigt vier untereinander platzierte Koordinatensysteme – für die Ausgangsfunktion f (ganz oben) und darunter für die Ableitungsfunktionen f, f und f.
  • Die Position des Punktes P auf dem unsichtbaren Graph f kann man mit dem Schieberegler x ganz oben einstellen.
  • Zum Punkt P im oberen Koordinatensystem wird ein zugehöriger (blau dargestellter) Punkt Q im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion f, ein zugehöriger (grün dargestellter) Punkt R im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion f erzeugt sowie ein zugehöriger (rot dargestellter) Punkt S im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion f erzeugt. Während P den Funktionswert f(x) an der Stelle x veranschaulicht, verdeutlicht Q die Ableitung f(x), R die 2. Ableitung f(x) und S die 3. Ableitung f(x) an der Stelle x.
  • Mit den Schiebereglern u0, u1, u2 und u3 kann man den Graph der jeweiligen Funktionen in der Umgebung ddes eingestellten x-Werts sichtbar machen.
  • Die Schaltflächen auf der rechten Seite dienen dazu, eine vorgegebene Ausgangsfunktion auszuwählen. Voreingestellt ist die Funktion zum Beispiel 1.

Aufgabe 2

(a) Betrachtete jetzt eine Stelle x mit f(x)=0 und f(x) > 0. Gehe analog zu Aufgabe 1 vor und untersuche, ob man mit Hilfe dieser Information vorhersagen kann, ob Graph f an der Stelle x einen Wendepunkt hat.

(b) Betrachtete (in Beispiel 3) eine Stelle x mit f(x)=0 und f(x)=0 und f(x) < 0. Welche Art von Wendepunkt liegt hier vor? Begründe.

(c) Betrachtete verschiedene Stellen x mit f(x)=0 und f(x)=0. Betrachte hierzu insbesondere die Stelle x=0 in Beispiel 4 und Beispiel 5. Kann man mit Hilfe dieser Information vorhersagen, ob Graph f an der Stelle x einen Wendepunkt hat?

Ergebnisse sichern

Die gefundenen Zusammenhänge werden jetzt festgehalten.

Aufgabe 3

(a) Ergänze passende Einträge in der Tabelle.

Eigenschaft von f und f sowie f
(hinreichende Bedingung)
hieraus folgtEigenschaft von f
f(x)=0 und f(x)0 f hat an der Stelle x ...
f(x)=0 und f(x)=0 und f(x)0 f hat an der Stelle x ...

(b) Formuliere die Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (mit höheren Ableitungen)

Wenn f(x)=0 und f(x)0, dann hat f an der Stelle x ...

Wenn f(x)=0 und f(x)=0 und f(x)0, dann hat f an der Stelle x ...

Beachte:

Wenn f(x)=0 und f(x)=0, dann kann man nicht entscheiden, ob an der Stelle x ...

Aufgabe 5

Trage die gefundene Bedingung für Wendepunkte im Wissensspeicher ein.

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