Anwendung

Bestimmung von Extrempunkten mit höheren Ableitungen

Wir nutzen die hinreichenden Bedingungen mit höheren Ableitungen, um die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu bestimmen. Hierzu betrachten wir die Beispiele aus dem Applet aus dem vorherigen Abschnitt.

Aufgabe 1

Bestimme (ggf. arbeitsteilig) die Hoch- und Tiefpunkte von $f$ mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung. Gehe dabei folgendermaßen vor.

• Schritt 1: Bestimme zunächst mithilfe der 1. Ableitung die möglichen Extremstellen von $f$.
• Schritt 2: Entscheide mithilfe der 2. Ableitung, ob die möglichen Extremstellen tatsächlich zu Hoch- bzw. Tiefpunkten gehören. Beachte, dass eventuell keine Entscheidung mit der 2. Ableitung möglich ist.
• Schritt 3: Bestimme für die ermittelten Hoch- und Tiefpunkte die $y$-Koordinaten.

(a) Beispiel 1: $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x+1$

(b) Beispiel 2: $f(x)=\frac{1}{12}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^2+1$

(c) Beispiel 3: $f(x)=\frac{9}{256}{x}^5-\frac{15}{64}{x}^3+1$

(d) Beispiel 4: $f(x)=-\frac{1}{12}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3$

Nutze das Applet aus dem vorangehenden Abschnitt um die Ergebnisse zu überprüfen.

Kontrolle

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen6.ggb

Aufgabe 2

Dokumentiere für eines der Beispiele alle Überlegungen zur Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte.

Kontrolle

Beispiel 1: $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x+1$

Schritt 1: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f^{\prime }$ bestimmen

Bestimmung von $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)=x^2-1$

Bestimmung der Nullstellen von $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)=0$
$x^2-1=0$
$x^2=1$
$x=-1$ oder $x=1$

Mögliche Extremstellen von $f$:

$x=-1$ und $x=1$

Schritt 2: Die möglichen Extremstellen von $f$ mit Hilfe von $f^{″}$ überprüfen

Bestimmung von $f^{″}(x)$:

$f^{″}(x)=2x$

Bestimmung von $f^{″}(x)$ für die möglichen Extremstellen:

Stelle	$f^{\prime }(x)$	$f^{″}(x)$	Eigenschaft von $f$
$x=-1$	$f^{\prime }(-1)=0$	$f^{″}(-1)=-2\text{ < }0$	Hochpunkt
$x=1$	$f^{\prime }(1)=0$	$f^{″}(1)=2\text{ > }0$	Tiefpunkt

Schritt 3: Die y-Koordinaten der ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bestimmen

$x=-1$: $f(-1)=-\frac{1}{3}-(-1)+1=\frac{5}{3}$

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $(-1|\frac{2}{3})$.

$x=1$: $f(1)=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(1|\frac{1}{3})$.