Vertiefung - Bedingungen für Monotonie
Zur Orientierung
Zielsetzung
Du hast vermutlich schon des öfteren Zusammenhänge zwischen der lokalen Steigung $f'(x)$ eines Funktionsgraphen und dem globalen Steigen und Fallen eines Funktionsgraphen hergestellt.
Ziel in diesem Abschnitt ist es, diese Zusammenhänge mit dem Monotoniebegriff zu präzisieren.
Den Monotoniebegriff präzisieren
Im Applet sind für eine Beispielfunktion die Monotonieintervalle bereits gekennzeichnet. Die beiden Punkte $P$ und $Q$ kann man auf Graph $f$ hin und her bewegen.
Zum Herunterladen: monotonie_definition.ggb
Mit dem Begriff streng monoton steigend erfasst man, dass $f(x)$ immer größer wird, wenn $x$ größer wird. Entsprechend beschreibt streng monoton fallend die Eigenschaft, dass $f(x)$ immer kleiner wird, wenn $x$ größer wird.
Aufgabe 1
Ergänze in der formalen Definition die fehlenden Teile.
Monotonie bei Funktionen
Eine Funktion ist streng monoton steigend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt ...
Eine Funktion ist streng monoton fallend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt ...
Eine hinreichende Bedingung für strenge Monotonie
Betrachte die Situation, dass Eigenschaften von $f'$ gegeben sind. Wenn man im folgenden Applet den Punkt $Q$ auf Graph $f'$ bewegt, entsteht im oberen Fenster der Graph der Ausgangsfunktion $f$. Mit dem Schieberegler $c$ kann man vorab die Ausgangsposition des Punktes $P$ einstellen.
Zum Herunterladen: monotonie_hinreichend.ggb
Aufgabe 1
Erzeuge Graph $f$ und ergänze in der Tabelle die passenden Bedingungen.
| Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung) |
hieraus folgt | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| ... | $\Rightarrow$ |
$f$ ist streng monton steigend im Intervall I. |
| ... | $\Rightarrow$ |
$f$ ist streng monton fallend im Intervall I. |
Eine notwendige Bedingung für strenge Monotonie
Betrachte hier die umgekehrte Situation, dass die Monotonieeigenschaften von $f$ bekannt sind. Wenn man im folgenden Applet den Punkt $P$ auf Graph $f$ bewegt, entsteht im unteren Fenster der Graph der Ableitungsfunktion $f'$.
Zum Herunterladen: monotonie_notwendig.ggb
Aufgabe 2
Erzeuge Graph $f'$ und ergänze in der Tabelle die passenden Bedingungen. Achte sehr genau auf den Verlauf von Graph $f'$.
| Eigenschaft von $f$ | hieraus folgt | Eigenschaft von $f'$ (notwendige Bedingung) |
|---|---|---|
|
$f$ ist streng monton steigend im Intervall I. |
$\Rightarrow$ | ... |
|
$f$ ist streng monton fallend im Intervall I. |
$\Rightarrow$ | ... |
Ergebnisse sichern
Die Zusammenhänge zwischen Monotonie bei der Ausgangsfunktion und dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion haben wir anschaulich und nur ausgehend von einem Beispiel erschlossen. Wir verzichten hier auf formale Beweise. Da wir das hinreichende Kriterium für strenge Monotonie in den weiteren Kapiteln immer wieder benutzen, sichern wir es als wichtiges Ergebnis.
Hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie (Monotoniesatz)
Wenn $f'(x) > 0$ für alle $x\in I$, dann ist $f$ ...
Wenn $f'(x) \text{ < } 0$ für alle $x\in I$, dann ist $f$ ...
