o-mathe | Einstieg – lokale Extrema » Vertiefung

Vertiefung – Bedingungen für Monotonie

Zur Orientierung

Zielsetzung

Wenn man das Verhalten eines Funktionsgraphen – steigt er oder fällt er? – betrachtet, fallen schnell Zusammenhänge zur lokalen Steigung $f^{'} (x)$ des Funktionsgraphen auf. Ziel dieser Seite ist es, diese Zusammenhänge mit dem Monotoniebegriff zu präzisieren.

Fachbegriffe

Wir setzen ein intuitives Verständnis der Begriffe „streng monoton steigend“ und „streng monoton steigend“ voraus. Im Unterkapitel Eigenschaften von Funktionen wurden diese Begriffe in der Erkundung inhaltlich eingeführt und in der Strukturierung auch exakt definiert.

Eine hinreichende Bedingung für strenge Monotonie

Wir gehen nun davon aus, dass Eigenschaften von $f^{'}$ gegeben sind. Wenn man im folgenden Applet den Punkt $Q$ auf Graph $f^{'}$ bewegt, entsteht im oberen Fenster der Graph der Ausgangsfunktion $f$ . Mit dem Schieberegler $c$ kann man vorab die Ausgangsposition des Punktes $P$ einstellen.

Aufgabe 1

Erzeuge den Graphen von $f$ und ergänze in der Tabelle die passenden Bedingungen.

Eigenschaft von $f^{'}$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
...	$\Rightarrow$	$f$ ist streng monoton steigend im Intervall I.
...	$\Rightarrow$	$f$ ist streng monoton fallend im Intervall I.

Zum Herunterladen: monotonie_hinreichend.ggb

Eine notwendige Bedingung für strenge Monotonie

Betrachte hier die umgekehrte Situation, dass die Monotonieeigenschaften von $f$ bekannt sind. Wenn man im folgenden Applet den Punkt $P$ auf Graph $f$ bewegt, entsteht im unteren Fenster der Graph der Ableitungsfunktion $f^{'}$ .

Aufgabe 2

Erzeuge den Graphen von $f^{'}$ und ergänze in der Tabelle die passenden Bedingungen. Achte sehr genau auf den Verlauf von Graph $f^{'}$ .

Zur Auswahl stehen:

$f (x) > 0$ für alle $x \in I$
$f (x) < 0$ für alle $x \in I$
$f (x) \geq 0$ für alle $x \in I$
$f (x) \leq 0$ für alle $x \in I$

Eigenschaft von $f$	hieraus folgt	Eigenschaft von $f^{'}$ (notwendige Bedingung)
$f$ ist streng monoton steigend im Intervall I.	$\Rightarrow$	...
$f$ ist streng monoton fallend im Intervall I.	$\Rightarrow$	...

Zum Herunterladen: monotonie_notwendig.ggb

Ergebnisse sichern

Die Zusammenhänge zwischen Monotonie bei der Ausgangsfunktion und dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion haben wir anschaulich und nur ausgehend von einem Beispiel erschlossen. Wir verzichten hier auf formale Beweise. Da wir das hinreichende Kriterium für strenge Monotonie in den weiteren Kapiteln immer wieder benutzen, sichern wir es als wichtiges Ergebnis.

Aufgabe 3

Vervollständige:

Hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie (Monotoniesatz)

Wenn $f^{'} (x) > 0$ für alle $x \in I$ , dann ist $f$ ...

Wenn $f^{'} (x) < 0$ für alle $x \in I$ , dann ist $f$ ...

←Zurück