Kubische Funktionen

Aufgabe 1

Kubische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 3. Sie lassen sich allgemein so darstellen:

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ mit reellen Zahlen $a,b,c,d$, wobei $a\ne 0$ vorausgesetzt wird.

Mit dem Applet kannst du die Vorfaktoren $a,b,c,d$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a\ne 0$ außer Acht lassen musst.

Zum Herunterladen: wendepunkte_kubische_funktionen.ggb

(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a,b,c,d$ mit $a\ne 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Wendepunkt. Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a=1$, $b=-3$, $c=-1$ und $d=3.5$ den Wendepunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.

(b) F. behauptet, dass der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ vom Grad $3$ (mit reellen Zahlen $a,b,c,d$, wobei $a\ne 0$) an der Stelle $x=-\frac{b}{3a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.

(c) Betrachte jetzt die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ (mit reellen Zahlen $a,b,c,d$, wobei $a\ne 0$). Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede dieser Funktionen einen Wendepunkt an der Stelle $x=-\frac{b}{3a}$ hat.