Erarbeitung – Kriterien für Wendepunkte

Zur Orientierung

Eine notwendige Bedingung für Wendepunkte herleiten

Im folgenden Applet werden Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion und ihren Ableitungsfunktionen verdeutlicht. Der Fokus liegt dabei auf den Wendepunkten der Ausgangsfunktion.

Aufgabe 1

Stelle $x$ so ein, dass der Punkt $P$ ein Wendepunkt von $f$ ist. Stelle dann Beziehungen zwischen den Punkten $P$, $Q$ und $R$ her. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle.

Eigenschaft von $f$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{″}$
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ ...	$\Rightarrow$	$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ ...

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Die 3 Wendepunkte von $f$ sind hier hervorgehoben.
• Im mittleren Fenster ist nur ein kleiner Ausschnitt der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ zu sehen.
• Im unteren Fenster sieht man nur einen Punkt des Graphen der 2. Ableitungsfunktion $f^{″}$.
• Mit dem Schieberegler für $x$ kann man die betrachtete Stelle einstellen. Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ werden dann auf den zugehörigen Graphen an die betrachtete Stelle platziert.

Zum Herunterladen: wendestellen_notwendige_bedingung.ggb

Aufgabe 2

Ergänze die folgende notwendige Bedingung für Wendepunkte und trage sie auch im Wissensspeicher ein.

Eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte herleiten

Die Wendepunkte der Ausgangsfunktion $f$ entsprechen den Hoch- und Tiefpunkten der zugehörigen Ableitungsfunktion $f^{\prime }$. Wir können daher hinreichende Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte nutzen, um entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu gewinnen.

Das Applet unter der nächsten Aufgabe zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f^{\prime }$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f^{″}$ dargestellt.

Aufgabe 3

Betrachte die voreingestellte Situation im Applet. $f^{″}$ hat hier an der Stelle $x$ einen $-/+$-Vorzeichenwechsel. Begründe: $f^{\prime }$ hat dann an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt, $f$ hat folglich an der Stelle $x$ einen Wendepunkt. Vergrößere zur Kontrolle die dargestellten Umgebungen der Punkte $Q$ und $P$, indem du die entsprechenden Schieberegler auf z.B. $u_1=0.5$ und $u_0=0.5$ einstellst.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Die 3 Wendepunkte von $f$ sind hier hervorgehoben.
• Im mittleren Fenster ist nur ein kleiner Ausschnitt der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ zu sehen.
• Im unteren Fenster sieht man nur einen Punkt des Graphen der 2. Ableitungsfunktion $f^{″}$.
• Mit dem Schieberegler für $x$ kann man die betrachtete Stelle einstellen. Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ werden dann auf den zugehörigen Graphen an die betrachtete Stelle platziert.

Zum Herunterladen: wendestellen_hinreichende_bedingung.ggb

Aufgabe 4

Untersuche analoge Situationen in Beispiel 2 und Beispiel 3. Betrachte jeweils die $x$-Werte, bei denen $f^{″}$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel aufweist. Fasse das Ergebnis in der folgenden Übersicht zusammen.

Eigenschaft von $f^{″}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ ...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...

Aufgabe 5

Betrachte Beispiel 3. $f$ hat an der Stelle $x=0$ einen Sattelpunkt. An den Stellen $x=-2$ und $x=2$ liegen dagegen Wendepunkte vor, die keine Sattelpunkte sind. Erkläre, welche Bedingungen für das Vorliegen eines Sattelpunkts erfüllt sein müssen.

Aufgabe 6

Formuliere eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Sattelpunkte als Wenn-Dann-Aussage und halte sie im Wissensspeicher fest.