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Anwendung – Bestimmung von Wendepunkten und dem Krümmungsverhalten

Die Ausgangssituation

Wir nutzen die erarbeiten Kriterien, um die Wendepunkte einer gegebenen Ausgangsfunktion zu bestimmen.

Unser Ziel

geg.: $f (x) = \frac{3}{224} x^{5} - \frac{5}{28} x^{3} + 1$

ges.: Wendepunkte von $f$

Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ mehrere Wendepunkte hat.

Aufgabe 1

Verschiebe im folgenden Applet die beweglichen Punkte so, dass sie in etwa die Wendepunkte von Graph $f$ markieren. Stelle so Vermutungen über die Positionen der Wendepunkte auf.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f^{'}$ ) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{″}$ . Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.

Aufgabe 2

Bestimme $f^{″} (x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

Kontrolle

$f^{″} (x) = \frac{15}{56} x^{3} - \frac{15}{14} x$

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen von $f^{″} (x)$ .

Kontrolle

$f^{″} (x) = x (\frac{15}{56} x^{2} - \frac{15}{14})$
$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{15}{56} x^{2} - \frac{15}{14}$
$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x^{2} = 4$
$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = - 2$ oder $x = 2$

Schritt 2: Das Vorzeichen der 2. Ableitungsfunktion untersuchen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den Nullstellen von $f^{″}$ tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f^{″}$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Aufgabe 4

(a) In der folgenden Tabelle sind bereits einige Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.

(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze geeignete Testwerte.

Stelle / Intervall	$f^{″} (x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaften von $f^{'}$ und $f$
$- \infty < x < - 2$	$f^{″} (- 4) = - \frac{90}{7}$ $f^{″} (x) < 0$		$f^{'}$ ist streng monoton fallend Graph $f$ ist rechtsgekrümmt
$x = - 2$	$f^{″} (- 2) = 0$	$- / +$ VZW	$f^{'}$ hat einen ... $f$ hat einen ...
$- 2 < x < 0$	$f^{″} (- 1) = \dots$ $f^{″} (x) > 0$		$f^{'}$ ist streng monoton ... Graph $f$ ist ...
$x = 0$
$0 < x < 2$
$x = 2$
$2 < x < \infty$

Schritt 3: $y$ -Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$ -Koordinaten dieser Punkte.

Aufgabe 5

Bestimme die $y$ -Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.

Aufgabe 6

Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher.