Anwendung – Bestimmung von Wendepunkten und dem Krümmungsverhalten

Die Ausgangssituation

Wir nutzen die erarbeiten Kriterien, um die Wendepunkte einer gegebenen Ausgangsfunktion zu bestimmen.

Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ mehrere Wendepunkte hat.

Aufgabe 1

Verschiebe im folgenden Applet die beweglichen Punkte so, dass sie in etwa die Wendepunkte von Graph $f$ markieren. Stelle so Vermutungen über die Positionen der Wendepunkte auf.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f'$) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$. Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.

Aufgabe 2

Bestimme $f''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

Kontrolle

$f''(x) = \frac{15}{56}x^3 - \frac{15}{14}x$

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen von $f''(x)$.

Kontrolle

• $f''(x) = x(\frac{15}{56}x^2 - \frac{15}{14})$
• $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{15}{56}x^2 - \frac{15}{14}$
• $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x^2 = 4$
• $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Schritt 2: Das Vorzeichen der 2. Ableitungsfunktion untersuchen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den Nullstellen von $f''$ tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Aufgabe 4

(a) In der folgenden Tabelle sind bereits einige Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.

(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze geeignete Testwerte.

Stelle / Intervall	$f''(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaften von $f'$ und $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$	$f''(-4) = -\frac{90}{7}$ $f''(x) \text{ < } 0$		$f'$ ist streng monoton fallend Graph $f$ ist rechtsgekrümmt
$x = -2$	$f''(-2) = 0$	$-/+$ VZW	$f'$ hat einen ... $f$ hat einen ...
$-2 \text{ < } x \text{ < } 0$	$f''(-1) = \dots$ $f''(x) \text{ > } 0$		$f'$ ist streng monoton ... Graph $f$ ist ...
$x = 0$
$0 \text{ < } x \text{ < } 2$
$x = 2$
$2 \text{ < } x \text{ < } \infty$

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.

Aufgabe 5

Bestimme die $y$-Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.

Aufgabe 6

Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher.