Anwendung - Bestimmung von Wendepunkten und dem Krümmungsverhalten
Die Ausgangssituation
Wir nutzen die erarbeiten Kriterien, um die Wendepunkte einer gegebenen Ausgangsfunktion zu bestimmen.
Unser Ziel
geg.: $f(x) = \frac{3}{224}x^5 - \frac{5}{28}x^3 + 1$
ges.: Wendepunkte von $f$
Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ mehrere Wendepunkte hat.
Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb
Aufgabe 1
Verschiebe die beweglichen Punkte so, dass sie in etwa die Wendepunkte von Graph $f$ markieren. Stelle so Vermutungen über die Positionen der Wendepunkte auf.
Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen
Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f'$) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$. Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.
Aufgabe 2
Bestimme $f''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.
Aufgabe 3
Bestimme die Nullstellen von $f''(x)$.
Schritt 2: Das Vorzeichen der 2. Ableitungsfunktion untersuchen
Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den Nullstellen von $f''$ tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
Aufgabe 4
(a) In der folgenden Tabelle sind bereits einige Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.
(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze geeignete Testwerte.
Stelle / Intervall | $f''(x)$ | Vorzeichenwechsel | Eigenschaften von $f'$ und $f$ |
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ | $f''(-4) = -\frac{90}{7}$ $f''(x) \text{ < } 0$ |
$f'$ ist streng monoton fallend Graph $f$ ist rechtsgekrümmt |
|
$x = -2$ | $f''(-2) = 0$ | $-/+$ VZW | $f'$ hat einen ... $f$ hat einen ... |
$-2 \text{ < } x \text{ < } 0$ | $f''(-1) = \dots$ $f''(x) \text{ > } 0$ |
$f'$ ist streng monoton ... Graph $f$ ist ... |
|
$x = 0$ | |||
$0 \text{ < } x \text{ < } 2$ | |||
$x = 2$ | |||
$2 \text{ < } x \text{ < } \infty$ |
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.
Aufgabe 5
Bestimme die $y$-Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.
Aufgabe 6
Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher.