o-mathe | Zusammenfassung – Kriterien für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie

Bedingungen für Monotonie

Präzisierung des Monotoniebegriffs

Im Applet sind für eine Beispielfunktion die Monotonieintervalle bereits gekennzeichnet. Die beiden Punkte $P$ und $Q$ kann man auf Graph $f$ hin und her bewegen.

Zum Herunterladen: monotonie_definition.ggb

Mit dem Begriff streng monoton steigend erfasst man, dass $f (x)$ immer größer wird, wenn $x$ größer wird. Entsprechend beschreibt streng monoton fallend die Eigenschaft, dass $f (x)$ immer kleiner wird, wenn $x$ größer wird.

Monotonie bei Funktionen

Eine Funktion ist streng monoton steigend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_{1}$ und $x_{2}$ aus $I$ gilt: Wenn $x_{1} < x_{2}$ , dann gilt $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Eine Funktion ist streng monoton fallend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_{1}$ und $x_{2}$ aus $I$ gilt: Wenn $x_{1} < x_{2}$ , dann gilt $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Eine hinreichende Bedingung für strenge Monotonie

Betrachte die Situation, dass Eigenschaften von $f^{'}$ gegeben sind. Wenn man im folgenden Applet den Punkt $Q$ auf Graph $f^{'}$ bewegt, entsteht im oberen Fenster der Graph der Ausgangsfunktion $f$ . Mit dem Schieberegler $c$ kann man vorab die Ausgangsposition des Punktes $P$ einstellen.

Zum Herunterladen: monotonie_hinreichend.ggb

Wenn man Graph $f$ erzeugt, erkennt man folgenden Zusammenhang.

Eigenschaft von $f^{'}$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
$f^{'} (x) > 0$ für alle $x \in I$	$\Rightarrow$	$f$ ist streng monton steigend im Intervall I.
$f^{'} (x) < 0$ für alle $x \in I$	$\Rightarrow$	$f$ ist streng monton fallend im Intervall I.

Diesen Zusammenhänge zwischen Monotonie bei der Ausgangsfunktion und dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion haben wir anschaulich und nur ausgehend von einem Beispiel erschlossen. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweis und formulieren nus das Ergebnis als zentralen Satz.

Hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie (Monotoniesatz)

Wenn $f^{'} (x) > 0$ für alle $x \in I$ , dann ist $f$ ...

Wenn $f^{'} (x) < 0$ für alle $x \in I$ , dann ist $f$ ...

Eine notwendige Bedingung für strenge Monotonie

Betrachte hier die umgekehrte Situation, dass die Monotonieeigenschaften von $f$ bekannt sind. Wenn man im folgenden Applet den Punkt $P$ auf Graph $f$ bewegt, entsteht im unteren Fenster der Graph der Ableitungsfunktion $f^{'}$ .

Zum Herunterladen: monotonie_notwendig.ggb

Wenn man Graph $f^{'}$ erzeugt, erhält man folgende Zusammenhänge:

Eigenschaft von $f$	hieraus folgt	Eigenschaft von $f^{'}$ (notwendige Bedingung)
$f$ ist streng monton steigend im Intervall I.	$\Rightarrow$	$f^{'} (x) \geq 0$ für $x \in I$
$f$ ist streng monton fallend im Intervall I.	$\Rightarrow$	$f^{'} (x) \leq 0$ für $x \in I$