Erarbeitung

Die Ausgangssituation präzisieren

Gegeben ist eine affine Abbildung $\alpha$ und eine Strecke $\overline{PQ}$.

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Im Applet sieht man: Wenn man den Punkt $X$ längs der Strecke $\overline{PQ}$ bewegt, dann bewegt sich der Bildpunkt $X^{\prime }$ längs einer Strecke $\overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$.

Ziel ist es, diese Beobachtung algebraisch zu begründen.

Eine Begründung zur Beobachtung entwickeln

Betrachte als Beispiel die Strecke $\overline{PQ}$ zu den Punkten $P(4|0)$ und $Q(4|4)$ (dargestellt im Applet).

Aufgabe 1

(a) Die Übersicht enthält einige Vorschläge, wie eine Vektorgleichung zur Beschreibung der Strecke $\overline{PQ}$ aussehen könnte. Prüfe, ob sich die vorgeschlagenen Vektorgleichungen zur Beschreibung eignen. Bestimme hierzu weitere Beispiele und ggf. auch Gegenbeispiele.

Vorschlag	Vektorgleichung	Beispiele	Eignung (j/n)
(a)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ y\end{array}\right)$ mit $0\le y\le 4$	y = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$ ...
(b)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ y\end{array}\right)$ mit $0\le y\le 2$	y = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$ ...
(c)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4t\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 4$	t = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$ ...
(d)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4t\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 1$	t = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$ ...
(e)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 1$	t = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$ ...
(f)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 4$	t = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$ ...
(g)	$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 1$	t = 0: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$ ...

(b) Im folgenden Applet wird eine der oben aufgeführten Vektorgleichungen zur Beschreibung der Strecke $\overline{PQ}$ benutzt. Welche? Begründe und erläutere die Bestandteile.

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Aufgabe 2

Betrachte die im Applet oben vorgebene affine Abbildung:

$\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$

Bestimme mit dieser Abbildung die Bildpunkte der Strecke $\overline{PQ}$ zu den Punkten $P(4|0)$ und $Q(4|4)$, die mit folgender Vektorgleichung beschrieben wird:

$\overline{PQ}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 1$

Gehe dabei so vor und ergänze die Umformungen. Nutze bei den Umformungen die Gesetze für das Rechnen mit Matrizen.

$\alpha \left(\overline{PQ}\right):\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot [\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right)]+\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\dots$

Kontrolliere mit dem folgenden Applet.

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Aufgabe 3

Im vorangehenden Applet kannst du die Vektorgleichung für die Gesamtheit aller Bildpunkte $\alpha \left(\overline{PQ}\right)$ zur vorgegebenen Strecke $\overline{PQ}$ einblenden.

Erläutere anhand der Vektorgleichung für $\alpha \left(\overline{PQ}\right)$, dass die Bildpunkte zur vorgegebenen Strecke $\overline{PQ}$ die Strecke $\overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$ bilden. Das Bild der vorgegebenen Strecke ist somit wieder eine Strecke.

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Aufgabe 4

Gehe analog vor und bestimme Vektorgleichungen für die Bildpunkte weiterer Strecke $\overline{PQ}$ bei der affinen Abbildung $\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

(a) Betrachte die Strecke $\overline{PQ}$ mit $P(0|4)$ und $Q(4|4)$.

(b) Betrachte die Strecke $\overline{PQ}$ mit $P(0|0)$ und $Q(4|0)$.

(c) Betrachte die Strecke $\overline{PQ}$ mit $P(0|0)$ und $Q(0|4)$.

Die Ergebnisse kannst du mit dem folgenden Applet kontrollieren. Bringe die Punkte $P$ und $Q$ hierzu an die passenden Positionen.

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