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Vertiefung

Zur Orientierung

Im Einstiegsabschnitt hast du experimentell festgestellt, dass parallele Seiten eines Vierecks bei affinen Abbildungen immer auf parallele Seiten abgebildet werden. Ziel ist es hier, diesen experimentell gefundenen Zusammenhang algebraisch nachzuweisen.

Abbildung paralleler Geraden untersuchen

In der Übersicht sind Daten zur Abbildung von zwei Geraden $g$ und $h$ mit einer affinen Abbildung $α$ in allgemeiner Form vorgegeben. Wir setzen voraus, dass die Abbildungsmatrix $A$ der affinen Abbildung umkehrbar ist.

Ausgangsgerade	affine Abbildung	Bildgerade
$g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$	$α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$	$g^{'} : {\vec{x}}^{'} = [A \cdot \vec{p} + \vec{v}] + t \cdot [A \cdot \vec{u}]$
$h : \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$	$α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$	$h^{'} : {\vec{x}}^{'} = [A \cdot \vec{q} + \vec{v}] + r \cdot [A \cdot \vec{w}]$

Aufgabe 1

Begründe den folgenden Zusammenhang:

Wenn $\vec{w} = k \cdot \vec{u}$ mit einer rellen Zahl $k$ gilt (d.h.: $\vec{w}$ ist ein Vielfaches von $\vec{u}$ ), dann gilt $A \cdot \vec{w} = k \cdot A \cdot \vec{u}$ (d.h.: $A \cdot \vec{w}$ ist dann auch ein Vielfaches von $A \cdot \vec{u}$ ).

Aufgabe 2

Begründe mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1 den folgenden Satz.

Parallelentreue bei affinen Abbildungen

Für jede affine Abbildung $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ mit umkehrbarer Abbildungsmatrix $A$ gilt:
Wenn die beiden Geraden $g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ und $h : \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{w}$ parallel sind, dann sind die zugehörigen Bildgeraden $g^{'} : {\vec{x}}^{'} = [A \cdot \vec{p} + \vec{v}] + t \cdot [A \cdot \vec{u}]$ und $h^{'} : {\vec{x}}^{'} = [A \cdot \vec{q} + \vec{v}] + r \cdot [A \cdot \vec{w}]$ ebenfalls parallel.

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