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Überprüfung - Fixpunkte und Fixgeraden

Aufgabe 1

Betrachte als Abbildung eine Scherung.

Zum Herunterladen: scherung.ggb

Beurteile die folgenden Aussagen. Gib in den Eingabefeldern jeweils w (für wahr) oder f (für falsch) ein. Überprüfe die Aussagen anschließend im Applet.

Aussage	(w)ahr oder (f)alsch
Der Punkt $(0 \| 0)$ ist ein Fixpunkt von $α$ .
Der Punkt $(0 \| 1)$ ist ein Fixpunkt von $α$ .
Der Punkt $(1 \| 0)$ ist ein Fixpunkt von $α$ .
Die $x$ -Achse ist eine Fixpunktgerade von $α$ .
Die $y$ -Achse ist eine Fixgerade von $α$ .
Die Gerade mit $y = 1$ ist eine Fixgerade von $α$ .
Die Gerade mit $y = x$ ist eine Fixgerade von $α$ .
$α$ hat unendlich viele Fixpunkte.
$α$ hat unendlich viele Fixgeraden.
$α$ hat unendlich viele Fixpunktgeraden.

Aufgabe 2

Betrachte die affine Abbildung $α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Zum Herunterladen: fixgerade3.ggb

(a) Zeige rechnerisch, dass $P (2 | 1)$ ein Fixpunkt von $α$ ist.

Zur Kontrolle

$α : (\begin{matrix} p_{1}^{'} \\ p_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = + (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix})$

(b) Wie überprüft man, ob $α$ weitere Fixpunkte hat. Beschreibe das Verfahren und führe es durch.

Zur Kontrolle

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})}} = \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & x_{2} & + & 1 & = & x_{1} \\ [2] & - x_{1} & + & x_{2} & + & 2 & = & x_{2} \end{array}$
LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - x_{2} & = & - 1 \\ [2] & - x_{1} & = & - 2 \end{array}$
Lösungen des LGS	$\begin{array}{lrrrcrcr} x_{2} & = & 1 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$
Fixpunkte	Es gibt genau einen Fixpunkt: $(2 \| 1)$

Aufgabe 3

Betrachte die lineare Abbildung $α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ .

Zum Herunterladen: fixgerade3.ggb

Die Abbildungsmatrix $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ hat die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren:

Eigenwerte von $A$ : $λ_{1} = 0; λ_{2} = 2$

Eigenvektoren von $A$ :
$\begin{array}{llll} λ_{1} = 0 & : & {\vec{w}}_{1} = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) & ; & r \neq 0 \\ λ_{2} = 2 & : & {\vec{w}}_{2} = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) & ; & r \neq 0 \end{array}$

Bestimme mit diesen Angaben die Fixgeraden von $α$ .

Zur Kontrolle

$λ_{1} = 0$ : Die zugehörigen Eigenvektoren ${\vec{w}}_{1} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ können nicht als Richtungsvektoren einer Fixgerade verwendet werden, da sie auf den Nullvektor $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ abgebildet werden.

$λ_{2} = 2$ : Die zugehörigen Eigenvektoren ${\vec{w}}_{2} = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ können als Richtungsvektoren der Fixgerade $g : \vec{x} = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ verwendet werden.

Überprüfung - Fixpunkte und Fixgeraden

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