Erarbeitung

Algebraische Beschreibungen geometrisch deuten

Aufgabe 1 (★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

Der Parameter $a$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& \dots \\ x_2^{\prime }& =& \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $a=2$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $a$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn $a$ einen Wert zwischen $0$ und $1$ hat?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $a$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $a$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: lineareabbildungen_a.ggb

Aufgabe 2 (★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& d\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

Der Parameter $d$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& \dots \\ x_2^{\prime }& =& \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $d=2$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $d$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn $d$ einen Wert zwischen $0$ und $1$ hat?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $d$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $d$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Aufgabe 3 (★★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

Der Parameter $b$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& \dots \\ x_2^{\prime }& =& \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $b=1$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $b$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn der Wert von $b$ vergrößert wird?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $b$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $b$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Aufgabe 4 (★★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

Der Parameter $c$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& \dots \\ x_2^{\prime }& =& \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $c=1$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $c$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn der Wert von $c$ vergrößert wird?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $c$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $c$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Aufgabe 5 (★★★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

Die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ können jetzt beliebig variiert werden.

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Untersuche folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn $b=2a$ und $d=2c$ gilt?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $c=0.5a$ und $d=0.5b$ gilt?

Hast du eine Erklärung hierfür?