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Zusammenfassung - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen

Die Grundidee

Geometrische Abbildungen werden in vielen Computerprogrammen verwendet, um grafische Effekte zu erzielen. So erfolgt z.B. das Drehen einer Ansicht oder das Spiegeln eines Bildausschnitts mit Hilfe geeigneter Abbildungen. Die Abbildungen werden dabei rechnerisch ausgeführt. Damit das möglich ist, werden die geometrischen Objekte in ein Koordinatensystem eingebettet, so dass ihre Lage mit Hilfe von Zahlen als Koordinaten beschrieben werden kann. Das folgende GeoGebra-Applet verdeutlicht diesen algebraischen-rechnerischen Ansatz zur Durchführung geometrischer Abbildungen.

Zum Herunterladen: abbildungen_geometrisch_algebraisch.ggb

Abbildung von Punkten

Wir betrachten vorerst geometrische Abbildungen in der 2-dimensionalen Ebene. Die Ausweitung auf Abbildungen im 3-dimensionalen Raum erfolgt im Kapitel Geometrische Abbildungen im Raum.

Eine geometrische Abbildung (in der Ebene) ordnet jedem Punkt

X (x_{1} | x_{2})

der Ebene einen Bildpunkt

X^{'} (x_{1}^{'} | x_{2}^{'})

zu. Wenn man die Punkte

X

und

X^{'}

vektoriell beschreibt, dann ordnet eine geometrische Abbildung jedem Ausgangsvektor

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

(mit reellen Zahlen

x_{1}

und

x_{2}

) einen Bildvektor

{\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})

(mit reellen Zahlen

x_{1}^{'}

und

x_{2}^{'}

) zu.

Beachte: Wir verwenden im Folgenden meist die vektorielle Darstellung von Punkten. Ein Punkt wird dabei mit seinen Ortsvektor beschrieben. Diese vektorielle Darstellung ermöglicht es, geometrische Abbildung algebraisch durch Rechnen mit Vektoren durchzuführen. Wir verdeutlichen das – passend zum Applet oben – am Beispiel der Spiegelung an der $y$ -Achse.

Beispiel: Spiegelung an der $y$ -Achse

Algebraische Beschreibung – mit Hilfe von Koordinatengleichungen
$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ mit $\begin{array}{lcl} x_{1}^{'} & = & - x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & x_{2} \end{array}$

Algebraische Beschreibung – mit Hilfe einer Vektorgleichung
$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ mit $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Applet einblenden

Den Punkt $X$ kannst du hin und her bewegen.

Zum Herunterladen: abbildung_punkte.ggb

In den folgenden Übersichten werden für die aus der Sekundarstufe I bekannten geometrischen Abbildungen jeweils passende Rechenverfahren angegeben. Die Applets verdeutlichen die Verfahren anhand variierbarer Beispiele.

Verschiebungen – algebraisch dargestellt

Die folgende Übersicht zeigt, wie man Verschiebungen algebraisch beschreiben kann.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Verschiebung um $v_{1}$ in $x$ -Richtung und $v_{2}$ in $y$ -Richtung: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & x_{1} & + & v_{1} \\ x_{2}^{'} & = & x_{2} & + & v_{2} \end{array}$	Verschiebung mit dem Verschiebevektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$

Streckungen – algebraisch dargestellt

Die folgende Übersicht zeigt, wie man Streckungen mit dem Ursprung als Streckzentrum algebraisch beschreiben kann.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Streckung mit dem Streckzentrum $(0 \| 0)$ und dem Streckfaktor $k$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & k \cdot x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & k \cdot x_{2} \end{array}$	Streckung mit dem Streckzentrum $(0 \| 0)$ und dem Streckfaktor $k$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Spiegelungen – algebraisch dargestellt

Die folgende Übersicht zeigt, wie man Spiegelungen an Geraden algebraisch beschreiben kann. In den Applets kannst du den Punkt $X$ hin und her bewegen.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Spiegelung an der $x$ -Achse: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & - x_{2} \end{array}$	Spiegelung an der $x$ -Achse: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Spiegelung an der $y$ -Achse: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & x_{2} \end{array}$	Spiegelung an der $y$ -Achse: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & x_{1} \end{array}$	Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & - x_{1} \end{array}$	Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Steigungswinkel $α$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & \cos (2 α) \cdot x_{1} \\ + \sin (2 α) \cdot x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & \sin (2 α) \cdot x_{1} \\ - \cos (2 α) \cdot x_{2} \end{array}$	Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Steigungswinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (2 α) & \sin (2 α) \\ \sin (2 α) & - \cos (2 α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Drehungen – algebraisch dargestellt

Die folgende Übersicht zeigt, wie man Drehungen mit dem Ursprung als Drehzentrum algebraisch beschreiben kann. In den Applets kannst du den Punkt $X$ hin und her bewegen.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $90 °$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & x_{1} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $180 °$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & - x_{2} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & \cos (α) \cdot x_{1} \\ - \sin (α) \cdot x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & \sin (α) \cdot x_{1} \\ + \cos (α) \cdot x_{2} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Lineare Abbildungen

Mit Ausnahme der Verschiebungen haben alle oben betrachteten geometrischen Abbildungen die folgende Struktur: Man erhält den Bildvektor ${\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ (zum Bildpunkt $X^{'}$ ), indem man den Ausgangsvektor $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ (zum Ausgangspunkt $X$ ) mit einer Matrix multipliziert. Wir führen ein Bezeichnung für solche Abbildungen ein.

Eine Abbildung $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ heißt lineare Abbildung, wenn es eine Matrix $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ gibt mit:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$

Den Bildpunkt $X^{'} (x_{1}^{'} | x_{2}^{'})$ zu einem Ausgangspunkt $X (x_{1} | x_{2})$ erhält man mit Hilfe linearer Gleichungen:

$\begin{array}{lcl} x_{1}^{'} & = & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} \end{array}$

Die Matrix $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ nennt man dann Abbildungsmatrix.

Mit den Ausführungen oben zu den geometrischen Abbildungen erhält man folgenes Ergebnis:

Lineare geometrische Abbildungen

Folgende geometrische Abbildungen sind lineare Abbildungen:

Spiegelungen an Ursprungsgeraden
Drehungen mit dem Ursprung als Drehzentrum
Streckungen mit dem Ursprung als Streckzentrum

Nicht zu den linearen Abbildungen gehören die Verschiebungen, sie haben eine andere Struktur: Man erhält den Bildvektor ${\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ (zum Bildpunkt $X^{'}$ ), indem man zum Ausgangsvektor $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ (zum Ausgangspunkt $X$ ) einen Verschiebevektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ hinzuaddiert. Alle lineare Abbildungen bilden den Ursprung $(0 | 0)$ auf sich selbst ab. Wenn der Verschiebevektor nicht der Nullvektor ist, dann wird bei einer Verschiebung der Punkt $(0 | 0)$ nicht auf sich selbst abgebildet. Verschiebungen sind daher (i.a.) keine linearen Abbildungen.

Neben den oben betrachteten geometrischen Standardabbildungen gibt es viele weitere geometrische Abbildungen, die linear oder auch nicht-linear sind. Wir werden einige davon im nächsten Kapitel genauer betrachten.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $90 °$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & x_{1} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $180 °$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & - x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & - x_{2} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & \cos (α) \cdot x_{1} \\ - \sin (α) \cdot x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & \sin (α) \cdot x_{1} \\ + \cos (α) \cdot x_{2} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$