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Vertiefung

Zur Orientierung

Wir greifen die Ergebnisse aus dem letzten Kapitel auf. Ziel ist es hier, die Struktur der algebraischen Beschreibungen zu den betrachteten geometrischen Abbildungen herauszuarbeiten.

Algebraische Struktur von Abbildungen beschreiben

In der Übersicht sind einige geometrische Standardabbildungen mit ihren algebraischen Beschreibungen aufgeführt.

Abbildung	Beschreibung mit Koordinatengleichungen	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Verschiebung um $v_{x}$ in $x$ -Richtung und $v_{y}$ in $y$ -Richtung: $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & x_{1} & + & v_{x} \\ x_{2}^{'} & = & x_{2} & + & v_{y} \end{array}$	Verschiebung um $v_{x}$ in $x$ -Richtung und $v_{y}$ in $y$ -Richtung: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \end{matrix})$
	Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Steigungswinkel $α$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & c o s (2 α) \cdot x_{1} \\ + s i n (2 α) \cdot x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & s i n (2 α) \cdot x_{1} \\ - c o s (2 α) \cdot x_{2} \end{array}$	Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Steigungswinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c o s (2 α) & s i n (2 α) \\ s i n (2 α) & - c o s (2 α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & c o s (α) \cdot x_{1} \\ - s i n (α) \cdot x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & s i n (α) \cdot x_{1} \\ + c o s (α) \cdot x_{2} \end{array}$	Drehung um den Drehpunkt $(0 \| 0)$ mit dem Drehwinkel $α$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c o s (α) & - s i n (α) \\ s i n (α) & c o s (α) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Streckung mit dem Streckzentrum $(0 \| 0)$ und dem Streckfaktor $k$ : $\begin{array}{lcll} x_{1}^{'} & = & k \cdot x_{1} \\ x_{2}^{'} & = & k \cdot x_{2} \end{array}$	Streckung mit dem Streckzentrum $(0 \| 0)$ und dem Streckfaktor $k$ : $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Einen Begriff zur Strukturbeschreibung einführen

Mit Ausnahme der Verschiebungen haben alle oben betrachteten geometrischen Abbildungen die folgende Struktur: Man erhält den Bildvektor ${\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ (zum Bildpunkt $X^{'}$ ), indem man den Ausgangsvektor $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ (zum Ausgangspunkt $X$ ) mit einer Matrix multipliziert. Wir führen ein Bezeichnung für solche Abbildungen ein.

Eine Abbildung $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})$ heißt lineare Abbildung, wenn es eine Matrix $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ gibt mit:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}}$

Den Bildpunkt $X^{'} (x_{1}^{'} | x_{2}^{'})$ zu einem Ausgangspunkt $X (x_{1} | x_{2})$ erhält man mit Hilfe linearer Gleichungen:

$\begin{array}{lcl} x_{1}^{'} & = & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} \\ x_{2}^{'} & = & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} \end{array}$

Die Matrix $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ nennt man dann Abbildungsmatrix.

Aufgabe 1

Beschreibe die Struktur der oben betrachteten geometrischen Standardabbildungen mit dem Begriff lineare Abbildung.

Aufgabe 2

Begründe, dass Verschiebungen (mit Ausnahme der Nullverschiebung) keine linearen Abbildungen sind. Tipp: Betrachte die Abbildung des Ursprungs.

Eine weitere Abbildung untersuchen

Betrachte die Abbildung im folgenden Applet. Sie wird Kreisspiegelung genannt.

Zum Herunterladen: kreisspiegelung.ggb

Die Kreisspiegelung ist eine interessante geometrische Abbildung. Wir werden sie in einem der weiteren Kapitel noch genauer untersuchen. Hier reicht es, wenn du erste Experimente im Applet durchführst. Den Punkt $X$ kannst du hierzu im Koordinatensystem hin und her bewegen.

Aufgabe 3

Begründe, dass die Kreisspiegelung keine lineare Abbildung ist.

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