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Erarbeitung - Rasterdeutung

Zur Orientierung

Ziel ist es, ein vertiefteres Verständnis über lineare und affine Abbildungen zu entwickeln. Hierzu untersuchen wir eine geometrische Deutung der zentralen Bestandteile solcher Abbildungen.

Problem:

Geg.: $(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$

Ges.: Deutung der Parameter $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sowie $v_{1}$ und $v_{2}$

Affine Abbildungen geometrisch deuten

Als exemplarisches Beispiel betrachten wir die folgende affine Abbildung:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0.5 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$

Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsvektoren1.ggb

Aufgabe 1

(a) Betrachte die Punkte $O (0 | 0)$ , $E_{1} (1 | 0)$ und $E_{2} (0 | 1)$ , die das Koordinatensystem aufspannen. Bestimme die zugehörigen Bildpunkte bei der vorgegebenen affinen Abbildung.

$\begin{array}{lclcl} O \to O^{'} & : & (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \end{array}) \\ E_{1} \to E_{1}^{'} & : & (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \end{array}) \\ E_{2} \to E_{2}^{'} & : & (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \end{array}) \end{array}$

(b) Bestimme auch die folgenden Vektoren. Vergleiche sie mit der gegebenen Abbildungsgleichung der affinen Abbildung. Was fällt auf?

$\begin{array}{lcl} \vec{O O^{'}} & = \\ \vec{O^{'} E_{1}^{'}} & = \\ \vec{O^{'} E_{2}^{'}} & = \end{array}$

Zur Kontrolle

Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsvektoren2.ggb

(c) Variiere im Applet die Parameter der affinen Abbildung. Beobachte, wie dabei die Einheitsvektoren $\vec{O E_{1}}$ und $\vec{O E_{2}}$ auf $\vec{O^{'} E_{1}^{'}}$ und $\vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ abgebildet werden.

(d) Fasse das Ergebnis zusammen. Ergänze hierzu den folgenden Satz.

Geometrische Deutung einer affinen Abbildung

Betrachte eine affine Abbildung:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}}$

(a) Deutung des Verschiebevektors:

Der Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ beschreibt ...

(a) Deutung der Abbildungsmatrix:

Die Spaltenvektoren ${\vec{a}}_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix})$ und ${\vec{a}}_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix})$ der Abbildungsmatrix $A$ beschreiben, ...

Aufgabe 2

Im Applet wird die betrachtete affine Abbildung auf einen Punkt $P$ angewandt.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_raster.ggb

(a) Blende das blaue Raster ein und lies die Koordinaten von $P$ ab.

(b) Berechne mit der affinen Abbildung die Koordinaten des Bildpunktes $P^{'}$ . Kontrolliere das Ergebnis im blauen Raster.

(c) Begründe (mit Aufgabe 1) folgende Deutungen der Parameter der affinen Abbildung.

$\begin{array}{lcl} \vec{O O^{'}} & = & (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{1}^{'}} & = & (\begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{2}^{'}} & = & (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}) \end{array}$

(d) Verdeutliche im blauen Raster:

$\vec{O P} = (- 2) \cdot \vec{O E_{1}} + 3 \cdot \vec{O E_{2}}$

Blende das rote Raster ein. Zeige, dass folgende analoge Gleichung gilt.

$\vec{O^{'} P^{'}} = (- 2) \cdot \vec{O^{'} E_{1}^{'}} + 3 \cdot \vec{O^{'} E_{2}^{'}}$

(e) Verdeutliche folgende Aussage mit Hilfe der vorangehenden Ergebnisse.

Rasterdeutung einer affinen Abbildung

Die Punkte $(O, E_{1}, E_{2})$ erzeugen das zum Koordinatensystem gehörende Ausgangsraster. Die Koordinaten eines Punktes $P$ werden in diesem Raster gebildet.

Eine affine Abbildung erzeugt ein Bildraster, das mit den Punkten $(O^{'}, E_{1}^{'}, E_{2}^{'})$ gebildet wird. Der Bildpunkt $P^{'}$ liegt im Bildraster an derselben Position, in der der Ausgangspunkt $P$ im Ausgangsraster liegt. Im Bildraster hat $P^{'}$ demnach dieselben Koordinaten wie $P$ im Ausgangsraster. Kurz:

Wenn $\vec{O P} = p_{1} \cdot \vec{O E_{1}} + p_{2} \cdot \vec{O E_{2}}$ , dann gilt $\vec{O^{'} P^{'}} = p_{1} \cdot \vec{O^{'} E_{1}^{'}} + p_{2} \cdot \vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ .

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