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Überprüfung - Verkettung von Abbildungen

Aufgabe 1

Betrachte die beiden Abbildung $α$ und $β$ in der Übersicht. Den (blau dargestellten) Punkt $X$ kann man hin und her bewegen.

Abbildung	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Spiegelung an der $x$ -Achse: $α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$
	Spiegelung an der $y$ -Achse: $β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

(a) Was soll man sich unter der Verkettung $β \circ α$ und der Verkettung $α \circ β$ der beiden Abbildungen $α$ und $β$ vorstellen? Beschreibe allgemein und verdeutliche anhand von Beispielzuordnungen.

Zur Kontrolle

$β \circ α$ bedeutet, dass die beiden Abbildung $β$ und $α$ nacheinander ausgeführt werden; $β$ nach $α$ bzw. zuerst $α$ , dann $β$ .

Beispiel:

$β \circ α : (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix})$

$α \circ β$ bedeutet, dass die beiden Abbildung $α$ und $β$ nacheinander ausgeführt werden; $α$ nach $β$ bzw. zuerst $β$ , dann $α$ .

Beispiel:

$α \circ β : (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix})$

(b) Wie bestimmt man aus den algebraische Beschreibungen zu den beiden Abbildungen $α$ und $β$ algebraische Beschreibungen zu den Verkettungen $β \circ α$ und $α \circ β$ ? Beschreibe und erläutere das Verfahren.

Zur Kontrolle

Betrachte $β \circ α$ :

$β \circ α : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})]$

Es gilt:

$(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})] = [(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Also:

$β \circ α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Betrachte $α \circ β$ :

$α \circ β : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})]$

Es gilt:

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})] = [(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Also:

$α \circ β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

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