Einstieg

Die Problemsituation klären

Wir starten mit Beispielen aus dem Erkundungskapitel.

Beispiel 1: umkehrbare Abbildung

Abbildung	Umkehrabbildung
Zuordnungsbeispiele: $\alpha :\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}8\\ 16\end{array}\right)$ $\alpha :\left(\begin{array}{c}0\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}-16\\ 8\end{array}\right)$	Zuordnungsbeispiele: ${\alpha }^{-1}:\left(\begin{array}{c}8\\ 16\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)$ ${\alpha }^{-1}:\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}0\\ 8\end{array}\right)$
Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: $\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$	Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: ${\alpha }^{-1}:\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.2& 0.4\\ -0.4& 0.2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Beispiel 2: nicht umkehrbare Abbildung

Abbildung	Umkehrabbildung
Zuordnungsbeispiele: $\alpha :\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ $\alpha :\left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$	Zuordnungsbeispiele: ${\alpha }^{-1}:\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)\to ?$
Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: $\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0.5& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$	Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: ${\alpha }^{-1}$ existiert nicht

Aufgabe 1

Mache dich noch einmal mit den Zusammenhängen in den bereits bearbeiteten Beispielen vertraut.

Begriffe klären

Wir präzisieren zunächst die bereits (intuitiv) verwendeten Begriffe.

Das Zusammenspiel von Abbildung und Umkehrabbildung lässt sich auch so beschreiben: Wenn man zuerst die Abbildung $\alpha$ auf einen Vektor anwendet und anschließend die Umkehrabbildung ${\alpha }^{-1}$ auf den Bildvektor, dann erhält man wieder den Ausgangsvektor.

In Beispiel 1 sieht man das anhand ausgewählter Zuordnungen:

$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)\stackrel{\alpha }{⟶}\left(\begin{array}{c}8\\ 16\end{array}\right)\stackrel{{\alpha }^{-1}}{⟶}\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)$

Die Verkettung von Abbildung und Umkehrabbildung muss also folgende Bedingung erfüllen:

${\alpha }^{-1}\circ \alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ bzw. ${\alpha }^{-1}\circ \alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Die Verkettung ${\alpha }^{-1}\circ \alpha$ von Abbildung und Umkehrabbildung ergibt die identische Abbildung, die jeden Vektor auf sich selbst abbildet.

Aufgabe 2

Verdeutliche die Begriffe und Zusammenhänge an den oben gezeigten Beispielen.