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Überprüfung - Lineare und affine Abbildungen

Aufgabe 1

Betrachte die Abbildung mit folgender Vektorgleichung.

Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$

(a) Bestimme die Bildpunkte zu folgenden Ausgangspunkten.

$\begin{array}{lcl} (0 | - 1) & \to & \dots \\ (4 | - 1) & \to & \dots \\ (4 | 1) & \to & \dots \\ (0 | 1) & \to & \dots \end{array}$

(b) Bewege die Bildpunkte im Applet an die berechneten Positionen. Welche Abbildung wird mit der Vektorgleichung oben beschrieben? Beschreibe die Abbildung geometrisch.

Zum Herunterladen: abbildungen2.ggb

(c) Handelt es sich bei der betrachteten Abbildung um eine lineare bzw. affine Abbildung? Begründe.

Zur Kontrolle

(a)
$\begin{array}{lcl} (0 | - 1) & \to & (- 2 | - 1) \\ (4 | - 1) & \to & (- 6 | - 1) \\ (4 | 1) & \to & (- 6 | - 3) \\ (0 | 1) & \to & (- 2 | - 3) \end{array}$

(b) Die Abbildung lässt sich geometrisch als Punktspiegelung mit dem Spiegelzentrum $(- 1 | - 1)$ deuten.

(c) Die Abbildung ist keine lineare Abbildung, da der Ursprung $(0 | 0)$ auf $(- 2 | - 2)$ abgebildet wird. Die Abbildung ist eine affine Abbildung, da sie auch mit folgener Vektorgleichung beschrieben werden kann:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix})$

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Vektorgleichung mit Abbildungsmatrix

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