Exkurs - Geometrische Deutung der Umkehrbarkeit

Umkehrbarkeit untersuchen

Eine geometrische Abbildung (der Ebene) ist umkehrbar genau dann, wenn sie unterschiedliche Vektoren (bzw. Punkte) auf unterschiedliche Bildvektoren (bzw. Bildpunkte) abbildet.

Zur Untersuchung der Umkehrbarkeit von linearen und affinen Abbildungen verwenden wir das folgende Applet.

Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsquadrat.ggb

Aufgabe 1

(a) Stelle im Applet die folgende Abbildung ein.

$\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Verdeutliche im Applet, dass diese Abbildung nicht umkehrbar ist. Blende hierzu den Punkt $P$ ein und bewege ihn entlang der Quadratrands.

(b) Stelle im Applet die folgende Abbildung ein.

$\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Woran erkennt man im Applet (zumindest exemplarisch), dass diese Abbildung umkehrbar ist?

(c) Verdeutliche anhand des Applets: Die Umkehrbarkeit einer linearen bzw. affinen Abbildungen sieht man im Applet so: