Zusammenfassung - Fixgeraden bei affinen Abbildungen

Das Fixgeradenkonzept

Im Applet wird eine Abbildung verdeutlicht, die eine Gerade auf sich selbst abbildet.

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Wir führen einen Begriff für solche Geraden ein.

Beachte den Unterschied zwischen den Konzepten Fixgerade und Fixpunktgerade:

• Eine Fixpunktgerade ist immer auch eine Fixgerade. Jeder Punkt einer Fixpunktgerade ist ein Fixpunkt und wird daher auf sich selbst abgebildet. Damit wird die Fixpunktgerade natürlich auch auf sich selbst abgebildet.
• Eine Fixgerade ist in der Regel keine Fixpunktgerade. Im Applet oben ist die gezeigte Gerade eine Fixgerade, aber keine Fixpunktgerade. Eine Fixgerade kann Fixpunkte enthalten, muss aber nicht.

Ursprungsgeraden als Fixgeraden bei linearen Abbildungen

Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass die Abbildung eine lineare Abbildung ist und dass die Fixgerade eine Ursprungsgerade ist.

Betrachte als Beispiel die im Applet vorgegebene lineare Abbildung. Gibt es Ursprungsgeraden, die Fixgeraden dieser Abbildung sind? Wie kann man sie ggf. rechnerisch bestimmen? Diese Fragen werden im Folgenden geklärt.

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Betrachte die im Applet voreingestellte lineare Abbildung $\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$.

Im Applet kann man die Ursprungsgeraden als Fixgeraden experimentell bestimmen. Wenn man den Punkt $P$ im Ursprung belässt, dann muss man den Punkt $Q$ in eine Position bringen, so dass $\overrightarrow{u}{}^{\prime }=\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ mit $\lambda \ne 0$ gilt. Man erhält so folgende Fixgeraden:

• $g:\overrightarrow{x}=t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ ($t\in \mathbb{R}$);
  $g$ erhält man, indem man den Punkt $P$ im Koordinatenursprung lässt und $Q$ z.B. an die Position $(2|1)$ bringt.
• $h:\overrightarrow{x}=t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ ($t\in \mathbb{R}$);
  $h$ erhält man, indem man den Punkt $P$ im Koordinatenursprung lässt und $Q$ z.B. an die Position $(1|-1)$ bringt.

Betrachte jetzt eine beliebige lineare Abbildung $\alpha$ mit $\alpha :{\overrightarrow{x}}^{\prime }=A\cdot \overrightarrow{x}$.

Es gelten folgenden Aussagen:

• Eine Ursprungsgerade $g$ lässt sich in der Form $g:\overrightarrow{x}=t\cdot \overrightarrow{u}$ mit einem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ darstellen.
• Für $\overrightarrow{x}=t\cdot \overrightarrow{u}$ gilt ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=A\cdot (t\cdot \overrightarrow{u})=t\cdot (A\cdot \overrightarrow{u})$.
• $\alpha (g):{\overrightarrow{x}}^{\prime }=t\cdot (A\cdot \overrightarrow{u})$ ist eine Ursprungsgerade, falls $A\cdot \overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ gilt.
• $A\cdot \overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{u}$ beschreiben dieselbe Richtung, wenn $A\cdot \overrightarrow{u}=\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ mit einer reellen Zahl $\lambda \ne 0$ gilt bzw. wenn $\overrightarrow{u}$ ein Eigenvektor von $A$ ist mit einem Eigenwert $\lambda \ne 0$.

Mit den vorangehenden Überlegungen erhält man das folgende Ergebnis:

Fixgeraden bei affinen Abbildungen

Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall, dass die Abbildung eine affine Abbildung ist und dass die Fixgerade eine beliebige Gerade sein kann. Betrachte hierzu die im Applet voreingestellte affine Abbildung $\alpha$. Es handelt sich bei dieser Abbildung um eine Verschiebung.

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Die Bedingung $\overrightarrow{u}{}^{\prime }=\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ mit $\lambda \ne 0$ reicht nicht aus, um zu schließen, dass die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist. Damit (im Applet) die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist, muss die zusätzliche Bedingung $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{u}$ (mit einer reellen Zahl $k$) erfüllt sein. Der Punkt $P^{\prime }$ liegt dann auf der Geraden durch $P$ und $Q$.

Bei der die vorgegebenen affine Abbildung gibt es unendlich viele Fixgeraden. Man kann $P$ zunächst an eine beliebige Position setzen. Da die Bedingung $\overrightarrow{u}{}^{\prime }=\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ (hier mit $\lambda =1$) immer erfüllt ist, muss man nur für $Q$ eine Position finden, so dass $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{u}$ (mit einer reellen Zahl $k$) gilt.

Im folgenden Satz werden die bisherigen Überlegungen verallgemeinernd zusammengefasst.

Im Applet wird die affine Abbildung verdeutlicht.

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Der Punkt $P$ liegt bereits an einer günstigen Position. Der Vektor $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ ist ein Vielfaches vom Eigenvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Hier muss man $Q$ an eine Position bringen (z.B. $Q(4|4)$), so dass $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{u}{}^{\prime }$ Vielfache voneinander sind.

Eine weitere Fixgerade erhält man, indem man $P$ so hin und her bewegt, bis $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ ist ein Vielfaches vom Eigenvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ ist. Das ist z.B. für $P(1|0)$ der Fall. Jetzt muss man $Q$ an eine Position bringen (z.B. $Q(0|2)$), so dass $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{u}{}^{\prime }$ Vielfache voneinander sind.