Erarbeitung

Teilabbildungen algebraisch beschreiben

In der Übersicht sind die Teilabbildungen aufgeführt, die wir zum Drehen des Bildes verwenden.

Abbildung	Beschreibung mit einer Vektorgleichung
	Verschiebung um $4$ Einheiten nach rechts und $5$ Einheiten nach unten: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\dots$
	Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $90°$: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\dots$
	Verschiebung um $4$ Einheiten nach links und $5$ Einheiten nach oben: $\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\dots$

Aufgabe 1

Ergänze zunächst die Vektorgleichungen in der Übersicht zur Beschreibung der Abbildungen:

Teilabbildungen kombinieren

In der folgenden Übersicht werden die algebraischen Beschreibungen zu den Teilabbildungen kombiniert. Im Beispiel wird der Punkt $A(-6|7)$ schrittweise abgebildet. Im allgemeinen Fall wird ein beliebiger Punkt $X(x_1|x_2)$ betrachtet.

Kombination der Abbildungen – am Beispiel

Kombination der Abbildungen – allgemein

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\end{array}\right)\\ \downarrow \\ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right)=\dots \\ \downarrow \\ \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot [\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right)]=\dots \\ \downarrow \\ \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot [\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right)]+\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)=\dots \end{array}$

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\\ \downarrow \\ \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right)\\ \downarrow \\ \dots \\ \downarrow \\ \dots \end{array}$

Aufgabe 2

(a) Erläutere die Rechenschritte im Beispiel.

(b) Führe die Rechnungen im Beispiel aus und kontrolliere in jedem Schritt, ob das Ergebnis zum durchgeführten Abbildungsprozess passt.

(c) Ergänze die algebraischen Beschreibungen im allgemeinen Fall.

Aufgabe 3

(a) Zeige durch geeignete Umformungen, dass man die Kombination der $3$ Teilabbildungen auch mit folgender Vektorgleichung beschreiben kann.

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 9\end{array}\right)$

(b) Überprüfe mit dem folgende Applet.

Zum Herunterladen: verkettung_abbildungen_algebraisch.ggb