Zusammenfassung - Abbildung von Geraden

Experimente

Wenn man im Applet den Schieberegler hin und her bewegt, dann sieht man, dass die Bildpunkte zu den Punkten einer Geraden bei einer affinen Abbildung wieder alle auf einer Geraden liegen.

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Ziel ist es, diesen experimentell gefundenen Zusammenhang algebraisch nachzuweisen.

Abbildung von Geraden

Wir betrachten zunächst ein typischen Beispiel und verdeutlichen an diesem Beispiel auch den allgemeinen Fall.

Eine vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$ erhält man, indem man die Vektoren zu den Punkten der Gerade $g$ in die Abbildungsgleichung $\alpha$ einsetzt:

$\begin{array}{lllll} \alpha(g): & \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} & = & \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \left[\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}\right] + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} \\ & & = & \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{u}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} \\ & & = & \left[\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}\right] + t \cdot \left[\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}\right] \\ & & = & \underbrace{\begin{pmatrix} 0.5 \\ 2.5 \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{p} + \cdot \vec{v}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{u}} \end{array}$

Im vorliegenden Beispiel 1 gilt:

• Alle Bildpunkte $X'$ liegen auf einer Geraden $g'$.
• Umgekehrt sind auch alle Punkte der Geraden $g'$ Bildpunkte von Punkten auf der Ausgangsgeraden $g$.
• Das Bild der Geraden $g$ bei der affinen Abbildung $\alpha$ ist somit wieder eine Gerade.

Das folgende Beispiel verdeutlicht einen Sonderfall.

Hier erhält man folgende vektorielle Beschreibung der Gesamtheit aller Bildpunkte zu den Punkten der Gerade $g$:

$\begin{array}{lllll} \alpha(g): & \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}'} & = & \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \left[\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{u}}\right] + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} \\ & & = & \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{p}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{u}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} \\ & & = & \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{p} + \cdot \vec{v}} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{u}} \end{array}$

Im vorliegenden Beispiel 2 werden alle Punkte $X$ der Geraden $g$ auf den Punkt $X'(0|2)$ abgebildet. Man erhält hier also keine Bildgerade.

Wenn die Abbildungsmatrix $A$ umkehrbar ist, dann kann der Sonderfall es entsteht keine Bildgerade nicht auftreten. Wenn $A$ umkehrbar ist, dann gilt: Da der Richtungsvektor $\vec{u}$ von $g$ nicht der Nullvektor ist, ist $\vec{u}' = A \cdot \vec{u}$ ebenfalls nicht der Nullvektor. Denn, wäre $A \cdot \vec{u} = \vec{0}$, dann würde hieraus $A^{-1} \cdot \left[A \cdot \vec{u}\right] = A^{-1} \cdot \vec{0}$ und somit $\vec{u} = \vec{0}$ folgen.

Wir präzisieren die in den Beispielen gewonnenen Ergebnisse im folgenden Satz.

Im folgenden Applet kann man Beispiele zu diesem Satz generieren, indem man eine affine Abbildung mit passenden Eingaben einstellt und eine Gerade durch Positionieren der beiden Punkte $P$ und $Q$ vorgibt.

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Geradentreue

Eine Abbildung ist geradentreu, wenn sie Geraden wieder auf Geraden abbildet.

Die Betrachtungen oben zeigen, dass affine Abbildungen im Regelfall geradentreu sind. Ein Sonderfall tritt ein, wenn die Abbildung des Richtungsvektors den Nullvektor ergibt. In diesem Fall liefert die affine Abbildung keine Gerade als Bild der Ausgangsgeraden.

Geradentreue ist keine Selbstverständlichkeit. Betrachte hierzu die Abbildung im folgenden Applet. Bewege den Punkt $X$ auf der Geraden $g$ und beobachte, welches Bild die vorgegebene Abbildung erzeugt.

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Teilverhältnistreue

Im nächsten Applet sieht man direkt: Wenn $X$ genau in der Mitte der Strecke $\overrightarrow{PQ}$ liegt, dann liegt der Bildpunkt $X'$ auch genau in der Mitte der Strecke $\overrightarrow{P'Q'}$. $X'$ unterteilt die Bildstrecke $\overrightarrow{P'Q'}$ demnach im selben Verhältnis $\frac{1}{2} : \frac{1}{2}$ wie $X$ die Ausgangsstrecke $\overrightarrow{PQ}$ unterteilt.

Zum Herunterladen: abbildunggeraden5.ggb

Wir verallgemeinern diesen Zusammenhang und betrachten hierzu folgende Situation: Der Punkt $X$ liegt auf der Strecke $\overline{PQ}$ und es gilt $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \overrightarrow{PQ}$ mit einer reellen Zahl $t$ aus dem Intervall $0 \leq t \leq 1$. Man sagt dann: Der Punkt $X$ unterteilt die Strecke im Verhältnis $t : (1-t)$.

Mit den oben beschriebenen Zusammenhängen erhält man sofort:

$\begin{array}{lrcrcrcr} \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \overrightarrow{PQ} \\ \\ \downarrow \alpha: A \cdot \vec{x} + \vec{v} \\ \\ \vec{x}' = \underbrace{[A \cdot \vec{p} + \vec{v}]}_{\vec{p}'} + t \cdot \underbrace{[A \cdot \overrightarrow{PQ}]}_{\overrightarrow{P'Q'}} \end{array}$

Es gilt demnach folgender Satz: