Erarbeitung

Einen Fixpunkt rechnerisch bestimmen

Das Applet kannst du zur Kontrolle verwenden.

Zum Herunterladen: fixpunkte3.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet voreingestellte affine Abbildung.

(a) Begründe: Ein Punkt $X$ ist Fixpunkt der affinen Abbildung $\alpha$ genau dann, wenn (die Vektordarstellung von) $X$ die folgende Fixpunktgleichung erfüllt:

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0.5& 2\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}}=\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$

(b) Erläutere und ergänze die Einträge in der folgenden Übersicht zur Bestimmung der Fixpunkte von $\alpha$.

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0.5& 2\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}}=\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 2x_1& -& x_2& +& 2& =& x_1\\ [2]& \dots \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lrcrcr}[1]& x_1& -& x_2& =& -2\\ [2]& \dots \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lr}[1]& \dots \\ [2]& \dots \end{array}$
Lösungen des LGS	$\begin{array}{lrr}{x}_2& =& \dots \\ x_1& =& \dots \end{array}$
Fixpunkte	Es gibt genau einen Fixpunkt: $(-2|0)$

(c) Vergleiche das rechnerisch ermittelte Ergebnis mit dem experimentell bestimmten im Applet.

Aufgabe 2

Gehe in den folgenden Beispielen so vor: Bestimme die Fixpunkte zunächst experimentell. Gib hierzu jeweils die Abbildung passend im Applet oben ein. Bestimme anschließend die Fixpunkte rechnerisch. Gehe dabei analog zum Beispiel in Aufgabe 1 vor. Achtung: Im Beispiel in Aufgabe 1 gab es genau einen Fixpunkt. In den folgenden Beispielen ist das anders. Das wirst du bereits beim Experimentieren feststellen.

(a)

$\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}=\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
Lösungen des LGS	...
Fixpunkte	...

(b)

$\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}=\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
Lösungen des LGS	...
Fixpunkte	...

(c)

$\alpha :\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Fixpunktgleichung	$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\dots & \dots \\ \dots & \dots \end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}=\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
LGS in Rechteckform	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lr}[1]& \\ [2]& \end{array}$
Lösungen des LGS	...
Fixpunkte	...

Aufgabe 3

Begründe ausgehend von den Beispielen oben den folgenden Satz: