Erarbeitung

Parallelität von Geraden charakterisieren

Im Applet sind zwei Geraden $g$ und $h$ vorgegeben. Die Lage dieser Geraden kann man verändern, indem man die markierten Punkte auf den beiden Geraden (ohne Füllung) hin und her bewegt.

Zum Herunterladen: parallelegeraden.ggb

Aufgabe 1

In der Ausgangslage sind die beiden Geraden $g$ und $h$ nicht parallel. Ändere die Lage einer oder beider Geraden so ab, dass sie parallel verlaufen. Es gibt hierfür zahlreiche Möglichkeiten – theoretisch unendlich viele. Trage mindestens drei verschiedene Ergebnisse in die folgende Tabelle ein.

Gerade 1	Gerade 2	parallel (j/n)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0.5\end{array}\right)$	$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$	n
...	...
...	...
...	...

Aufgabe 2

Wie zeigt sich die Parallelität von zwei Geraden in den zugehörigen Geradengleichungen? Ergänze den folgenden Satz.

Einen Fachbegriff verwenden

Zur Charakterisierung von Parallelität verwendet man meist den folgenden Fachbegriff.

Beachte:

• Wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, dann sind die beiden Vektoren auf jeden Fall linear abhängig.
• Wenn keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist, dann gilt: Wenn Vektor $\overrightarrow{u}$ ein Vielfaches von $\overrightarrow{v}$ ist (d.h. $\overrightarrow{u}=k\cdot \overrightarrow{v}$ mit einer reellen Zahl $k$), dann ist auch umgekehrt $\overrightarrow{v}$ ein Vielfaches von $\overrightarrow{u}$ (da $\frac{1}{k}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$).
• Wenn keiner der beiden Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ der Nullvektor ist, dann reicht es, folgende Bedingung zu überprüfen: Gibt es eine reelle Zahl $k$, so dass Vektor $\overrightarrow{u}=k\cdot \overrightarrow{v}$ gilt?

Aufgabe 3

Verwende den neuen Fachbegriff, um das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts zu formulieren. Ergänze den folgenden Satz.