Vertiefung

Abbildungen geometrisch deuten

Aufgabe 1 (★★)

Betrachte Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}}$

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\begin{array}{lcl}{x}_1^{\prime }& =& \dots \\ x_2^{\prime }& =& \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall mit $a=1$, $b=0$, $c=0$, $d=-1$ sowie $v_1=6$, $v_2=0$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$

$\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$

$\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$

$\underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 8\end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}\to \underset{A\cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \end{array}\right)}}$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $a,b,c,d$ sowie $v_1,v_2$. Kläre hierzu folgende Frage: Welchen Einfluss hat der Vektor $\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$ auf die Abbildung?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

Applet einblenden

Zum Herunterladen: affineabbildungen2.ggb