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Zusammenfassung - Verkettung geometrischer Abbildungen

Die Grundidee

Ziel ist es, eine Drehung um $90 °$ um das Drehzentrum $(- 4 | 5)$ algebraisch zu beschreiben. Diese Abbildung kann man mit Hilfe von $3$ Teilabbildungen durchführen, die hintereinander ausgeführt werden. Das Hintereinanderausführen von Teilabbildungen nennt man auch Verketten von Abbildungen.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2	Teilabbildung 3

Verschiebung um $4$ nach rechts und $5$ nach unten	Drehung um $90 °$ um den Ursprung	Verschiebung um $4$ nach links und $5$ nach oben
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})$	$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix})$

In der Übersicht sind auch bereits die algebraischen Beschreibungen zu den Teilabbildungen aufgeführt. Beachte, dass wir hier die Bezeichnung $α$ , $β$ und $γ$ als Abkürzungen für die Teilabbildungen verwenden. Es fehlt noch die algebraische Beschreibung der Gesamtabbildung, die man durch eine Verkettung (bzw. durch Hintereinanderausführen) der Teilabbildungen erhält.

Verkettung der Teilabbildungen – am Beispiel	Verkettung der Teilabbildungen – allgemein
$\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}$

Verkettung der Teilabbildungen – am Beispiel

Verkettung der Teilabbildungen – allgemein

\begin{matrix} (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \\ ↓ α \\ (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix}) \\ ↓ β \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] \\ ↓ γ \\ (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}

Die Verkettung von $α$ , $β$ und $γ$ bildet den Ausgangsvektor $(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix})$ auf den Bildvektor $(\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$ ab:

$(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \overset{α}{⟶} \overset{β}{⟶} \overset{γ}{⟶} (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$

Wenn man die übliche Klammerschreibweise für Abbildungen verwendet, dann kann man das auch so schreiben:

$γ (β (α ((\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix})))) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$

Es wird also $γ$ nach $β$ nach $α$ ausgeführt. Die Gesamtabbildung $γ$ nach $β$ nach $α$ beschreibt man in der Form $γ \circ β \circ α$ . Es gilt also:

$(\begin{matrix} - 6 \\ 7 \end{matrix}) \overset{γ \circ β \circ α}{⟶} (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \end{matrix})$

Aus der Übersicht oben entnimmt man, dass man die Abbildung $γ \circ β \circ α$ algebraisch so beschreiben kann:

$γ \circ β \circ α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ - 5 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix})$

Verkettung von Abbildungen

Wir legen die im Beispiel oben bereits verwendeten Begriffe und Symbole jetzt präzise fest.

Verkettung von Abbildungen

Die Verkettung von zwei geometrischen Abbildungen $α$ und $β$ beschreibt das Hintereinanderausführen der beiden Abbildungen. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

erst $α$ dann $β$ bzw. $β$ nach $α$ . Diese Abbildung beschreibt man in der Form $β \circ α$ .

erst $β$ dann $α$ bzw. $α$ nach $β$ . Diese Abbildung beschreibt man in der Form $α \circ β$ .

Beispiel

Betrachte die beiden folgenden Abbildungen:

$α$ : Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

$β$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung

Durch eine Verkettung der Abbildungen erhält man:

$β \circ α$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung nach Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

$α \circ β$ : Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden nach Drehung um $90 °$ um den Ursprung

Verkettung von linearen Abbildungen

Wenn man die Verkettung $β \circ α$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung nach Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden durchführt, dann sieht es so aus, als entspräche das einer Spiegelung an der $y$ -Achse.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2	Vergleichsabbildung

Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden	Drehung um $90 °$ um den Ursprung	Spiegelung an der $y$ -Achse
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Stimmt das auch – nicht nur für die im Bild gezeigte Figur? Das kann man algebraisch überprüfen. Hierzu nutzen wir die algebraischen Beschreibungen der beiden Teilabbildungen.

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})]$

Mit dem Assoziativgesetz für die Matrixmultiplikation erhält man:

$(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})] = [(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Es gilt also:

$β \circ α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Die Verkettung $β \circ α$ entspricht somit genau einer Spiegelung an der $y$ -Achse.

Analog kann man zeigen, dass die umgekehrte Verkettung $α \circ β$ einer Spiegelung an der $x$ -Achse entspricht.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2	Vergleichsabbildung

Drehung um $90 °$ um den Ursprung	Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden	Spiegelung an der $x$ -Achse
$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$	$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$

Die Betrachtungen lassen sich verallgemeinern:

Verkettung linearer Abbildungen

Für die Verkettung $β \circ α$ von zwei linearen Abbildungen $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x}$ und $β : {\vec{x}}^{'} = B \cdot \vec{x}$ gilt:

$β \circ α : {\vec{x}}^{'} = B \cdot (A \cdot \vec{x}) = (B \cdot A) \cdot \vec{x}$

Die Verkettung $β \circ α$ ist somit ebenfalls eine lineare Abbildung. Die Abbildungsmatrix erhält man durch eine Multiplikation der Abbildungsmatrizen der beiden Teilabbildungen.

Beachte: Die Verkettung von (linearen) Abbildungen ist nicht kommutativ.

Gegenbeispiel

Betrachte die beiden folgenden Abbildungen:

$α$ : Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

$β$ : Drehung um $90 °$ um den Ursprung

Durch eine Verkettung der Abbildungen erhält man:

$β \circ α$ : Spiegelung an der $y$ -Achse

$α \circ β$ : Spiegelung an der $x$ -Achse

Verkettung von affinen Abbildungen

Wie wirkt sich eine Verkettung bei affinen Abbildungen aus? In dr folgenden Übersicht wird das an einem einfachen Beispiel demonstriert.

Teilabbildung 1	Teilabbildung 2	Vergleichsabbildung

Spiegelung an der Geraden $x = 2$	Spiegelung an der Geraden $x = 5$	Verschiebung um $6$ nach rechts
$α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})$	$β : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix})$	$γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix})$ bzw. $γ : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix})$

Es sieht so aus, als ob die Verkettung von zwei Spiegelungen hier zu einer Verschiebung führt. Das lässt sich recherisch überprüfen.

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \overset{α}{⟶} (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) \overset{β}{⟶} (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})] + (\begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix})$

Mit dem Distributivgesetz und dem Assoziativgesetz für die Matrixmultiplikation erhält man:

$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot [(\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array})] + (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}) = \\ (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot [(\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})] + (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}) = \\ [(\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})] \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}) = \\ (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}) = \\ (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) = \\ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) \end{array}$

Es gilt also:

$β \circ α : (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix})$

Die Verkettung $β \circ α$ entspricht somit genau einer Verschiebung in $x$ -Richtung.

Auch hier lassen sich die Betrachtungen verallgemeinern:

Verkettung affiner Abbildungen

Für die Verkettung $β \circ α$ von zwei affinen Abbildungen $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ und $β : {\vec{x}}^{'} = B \cdot \vec{x} + \vec{w}$ gilt:

$β \circ α : {\vec{x}}^{'} = B \cdot (A \cdot \vec{x} + \vec{v}) + \vec{w} = \underset{Abbildungsmatrix}{\underset{⏟}{(B \cdot A)}} \cdot \vec{x} + \underset{Verschiebevektor}{\underset{⏟}{(B \cdot \vec{v} + \vec{w})}}$

Die Verkettung $β \circ α$ ist somit ebenfalls eine affine Abbildung.

Beachte: Die Verkettung von (affinen) Abbildungen ist nicht kommutativ.

Zusammenfassung - Verkettung geometrischer Abbildungen

Die Grundidee

Verkettung von Abbildungen

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Beispiel

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